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Librairie Eyrolles - Paris 5e
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Traité de géométrie supérieure

Michel Chasles - Collection Sciences

698 pages, parution le 01/04/2020

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QUANTITÉ

Résumé

Traité de géométrie supérieure / par M. Chasles,...
Date de l'édition originale : 1880

Le présent ouvrage s'inscrit dans une politique de conservation patrimoniale des ouvrages de la littérature Française mise en place avec la BNF.
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L'auteur - Michel Chasles

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Sommaire

TABLE DES MATIÈRES.

	Pages.
PRÉFACE DE LA PREMIÈRE ÉDITION	V

PREMIÈRE SECTION. - Principes fondamentaux. - Théorie du rapport anharmonique; de la division homograpspanque et de l'involution

CHAPITRE Ier. - AVERTISSEMENT RELATIF A L'USAGE DES SIGNES + ET -, POUR DÉTERMINER LA DIRECTION DES SEGMENTS RECTILIGNES OU DES ANGLES	1
CHAPITRE II. - RAPPORT ANHARMONIQUE DE QUATRE POINTS, DE QUATRE DROITES ET DE QUATRE PLANS	7

§ I. - Premières notions	7
§ II. - Propriétés géométriques du rapport anharmonique	11
§ III. - Propriétés de quatre points situés en ligne droite et doeun faisceau de quatre droites	15
§ IV. - Formules pour le changement d?origine des segments rectilignes ou des angles	18
§ V. - Propriétés de quatre points situés sur une circonférence de cercle. - Formules fondamentales de la Trigonométrie. - Propriétés du quadrilatère inscriptible au cercle	20
§ VI. - Relations entre les trois rapports anharmoniques doeun système de quatre points ou doeun faisceau de quatre droites	22
§ VII. - Nouvelles expressions du rapport anharmonique de quatre points ou doeun faisceau de quatre droites	23

CHAPITRE III. - PROPRIÉTÉS RELATIVES A DEUX SYSTÈMES DE QUATRE POINTS SITUÉS SUR DEUX DROITES, OU A DEUX FAISCEAUX DE QUATRE DROITES, QUI ONT UN MÊME RAPPORT ANHARMONIQUE

§ I. - Deux systèmes de quatre points	28
§ II. - Deux faisceaux de quatre droites	31
§ III. - Manières d?exprimer l'égalité des rapports anharmoniques de deux systèmes de quatre points	32
§ IV. - Manières d?exprimer l'égalité des rapports anharmoniques de deux faisceaux de quatre droites	34
§ V. - Manières d?exprimer quoeun faisceau de quatre droites a son rapport anharmonique égal à celui de quatre points	35

CHAPITRE IV. - RAPPORT HARMONIQUE DE QUATRE POINTS OU D?UN FAISCEAU DE QUATRE DROITES

§ I. - Rapport harmonique de quatre points	37
§ II. - Manières d?exprimer que quatre points sont en rapport harmonique.	40
§ III. - Relations où entre un point arbitraire	41
§ IV. - Relations où entrent les points milieux des deux segments en rapport harmonique	44
§ V. - Relations où entrent deux points arbitraires	46
§ VI. - Connaissant, dans une proportion harmonique, deux points conjugués et le milieu des deux autres, trouver ceux-ci	49
§ VII. - Faisceau de quatre droites en rapport harmonique	50
§ VIII. - Relations entre quatre droites en rapport harmonique	51

CHAPITRE V. - DU SYSTÈME DE DEUX POINTS OU DE DEUX DROITES IMAGINAIRES

§ I. - Manière de déterminer simultanément deux points sur une droite. - Points imaginaires	54
§ II. - Relations entre des points réels et des points imaginaires	57
§ III. - Autres éléments par lesquels on peut déterminer deux points imaginaires	59
§ IV. - Du système de deux points imaginaires en rapport harmonique avec deux points réels	61
§ V. - Manière de déterminer simultanément deux droites conjuguées passant par un point donné. - Droites imaginaires	62

CHAPITRE VI. - THÉORIE DE LA DIVISION HOMOGRAPHIQUE

§ I. - Divisions homograpspanques de deux droites. - Faisceaux homograpspanques	64
§ II. - Propriétés géométriques de deux droites divisées homograpspanquement, et de deux faisceaux homograpspanques	67
§ III. - Construction doeun quatrième point ou doeun quatrième rayon, dans deux systèmes de quatre points, ou deux faisceaux de quatre droites, dont les rapports anharmoniques sont égaux	73

CHAPITRE VII. - DIFFÉRENTES MANIÈRES D?EXPRIMER LA DIVISION HOMOGRAPHIQUE DE DEUX DROITES OU L'HOMOGRAPHIE DE DEUX FAISCEAUX

§ I. - Division homograpspanque de deux droites	77
§ II. - Faisceaux homograpspanques	95

CHAPITRE VIII. - DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES FORMÉES SUR UNE MÊME DROITE. - FAISCEAUX HOMOGRAPHIQUES AYANT LE MÊME CENTRE

100

§ I. - Divisions homograpspanques formées sur une même droite. - Points doubles. - Point milieu des deux points doubles	100
§ II. - Diverses manières d?exprimer deux divisions homograpspanques sur une même droite	105
§ III. - Cas où les deux points doubles coïncident	107
§ IV. - Propriétés de deux divisions homograpspanques dont les points doubles sont imaginaires	111
§ V. - Cas particulier des divisions homograpspanques sur une même droite - Divisions en involution	113
§ VI. - Faisceaux homograpspanques qui ont le même centre. - Rayons doubles	115
§ VII. - Propriétés de deux faisceaux homograpspanques dont les rayons doubles sont imaginaires	117

CHAPITRE IX. - THÉORIE DE L'INVOLUTION

119

§ I. - Involution de six points. - Relations à six et à huit segments	119
§ II. - Cas particuliers de l'involution de six points	123
§ III. - Propriétés de six points en involution. - Point central. - Points doubles	129
§ IV. - Construction du point central, des deux points doubles et du sixième point doeune involution	136
§ V. - Relation entre six points en involution, dans laquelle entre un point arbitraire	141
§ VI. - Manières d?exprimer l'involution par les éléments ou les équations des trois couples de points conjugués	145
§ VII. - Relations où entrent les points milieux des trois couples de points en involution	147
§ VIII.- Relations diverses	149
§ IX. - Relations où entrent deux points arbitraires	152
§ X. - De trois segments en involution, deux étant donnés avec le point milieu du troisième, déterminer celui-ci	154

CHAPITRE X. - DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES EN INVOLUTION	157
CHAPITRE XI. - FAISCEAUX EN INVOLUTION	162

§ I. - Faisceau de six droites en involution	162
§ II. - Faisceaux homograpspanques en involution	164
§ III. - Manières d?exprimer que deux faisceaux homograpspanques sont en involution	166

CHAPITRE XII. - DES DEUX POINTS QUI DIVISENT HARMONIQUEMENT DEUX SEGMENTS DONNÉS	168
CHAPITRE XIII. - PROPOSITIONS RELATIVES A DEUX DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES FORMÉES SUR UNE MÊME DROITE, ET A L'INVOLUTION	172

§ I. - Divisions homograpspanques sur une même droite. - Construction des deux points doubles et de leur point milieu	172
§ II. - Propositions relatives à l'involution	179

DEUXIÈME SECTION. - Propriétés des figures rectilignes. - Application des théories précédentes

187

CHAPITRE XIV. - PROBLÈME DE LA SECTION DÉTERMINÉE	187
CHAPITRE XV. - QUESTIONS DONT LA SOLUTION SE RAMÈNE A LA CONSTRUCTION DES POINTS DOUBLES DE DEUX DIVISIONS HOMOGRAPHIQUES SUR UNE MÊME DROITE	199

§ I. - Exposé de la méthode	199
§ II. - Questions où l'on considère deux divisions homograpspanques sur deux droites. - Problèmes de la section de raison et de la section de l'espace	201
§ III. - Questions où l'on considère deux systèmes de deux divisions homograpspanques	205
§ IV. - Questions diverses	206
§ V. - Résolution doeun système d?équations du premier ou du second degré	209

CHAPITRE XVI. - PROPRIÉTÉS RELATIVES A DEUX SYSTÈMES DE POINTS SITUÉS EN LIGNE DROITE. - APPLICATION A LA DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES EN FRACTIONS SIMPLES

214

§ I. - Systèmes de points en ligne droite	214
§ II. - Décomposition des fractions rationnelles en fractions simples	219

CHAPITRE XVII. - DIVERS MODES DE DESCRIPTION D?UNE DROITE PAR POINTS. - SYSTÈME DE DROITES PASSANT TOUTES PAP UN MÊME POINT

226

§ I. - Description doeune droite par points	226
§ II. - Propositions dans lesquelles on considère des droites concourantes en un même point	228

CHAPITRE XVIII. - PROPRIÉTÉS DU QUADRILATÈRE RELATIVES A L'INVOLUTION ET A LA DIVISION HARMONIQUE	231
CHAPITRE XIX. - PROPRIÉTÉS DU TRIANGLE	242

§ I. - Théorèmes généraux

242

1. Triangle coupé par une transversale	242
2. Triangle dans lequel trois droites menées par les sommets concourent en un même point	245
3. Théorèmes dans lesquels on considère à la fois un point et une droite dans le plan doeun triangle	246
4. Triangles inscrit et circonscrit loeun à l'autre respectivement	248
5. Réflexions sur le caractère des démonstrations fondées sur les théories exposées dans cet Ouvrage	250
6. Triangles homologiques	252

§ II. - Application des théorèmes précédents à la démonstration de diverses propriétés du triangle

255

CHAPITRE XX. - PROPRIÉTÉS DES POLYGONES EN GÉNÉRAL, DU QUADRILATÈRE ET DE L'HEXAGONE

265

§ I. - Propriétés des polygones	266
§ II. - Propriétés du quadrilatère	273
§ III. - Quadrilatère gauche. - Hyperholoïde à une nappe	277
§ IV. - Propriétés de l'hexagone	280

CHAPITRE XXI. - ÉQUATIONS D?UNE DROITE, OU RELATIONS DE SEGMENTS SERVANT A DÉTERMINER TOUS LES POINTS D?UNE LIGNE DROITE

285

§ I. - Équation entre les segments faits sur deux droites par des rayons tournant autour de deux points fixes	285
§ II. - Équation entre des segments faits sur plusieurs axes par des rayons tournant autour de points fixes situés en ligne droite	290
§ III. - Équation entre des segments faits sur un ou plusieurs rayons tournant autour de pôles fixes quelconques	295

CHAPITRE XXII. - ÉQUATIONS D?UN POINT, OU RELATIONS DE SEGMENTS SERVANT A DÉTERMINER UNE INFINITÉ DE DROITES ASSUJETTIES A PASSER TOUTES PAR UN MÊME POINT. - CENTRE DE GRAVITÉ D'UN SYSTÈME DE POINTS. - CENTRE DES MOYENNES HARMONIQUES.

301

§ I. - Équation entre les segments quoeune droite tournant autour doeun point fait sur deux axes fixes	301
§ II. - Équation entre les segments faits par une droite tournant autour d'un point fixe sur plusieurs droites concourantes en un même point	303
§ III. - Relation constante entre les perpendiculaires abaissées de plusieurs points sur une droite qui tourne autour doeun point fixe. - Centre de gravité doeun système de points	306
§ IV. - Centre des moyennes harmoniques doeun système de points	309

TROISIÈME SECTION. - Systèmes de coordonnées servant à déterminer des points ou des droites. - Figures homograpspanques, et méthode générale de déformation des figures. - Figures corrélatives, et méthode générale de transformation des figures en d?autres de genre différent.

315

CHAPITRE XXIII. - SYSTÈMES DE COORDONNÉES SERVANT A REPRÉSENTER PAR UNE ÉQUATION TOUS LES POINTS D?UNE COURBE	315
CHAPITRE XXIV. - SYSTÈMES DE COORDONNÉES SERVANT A REPRÉSENTER PAR UNE ÉQUATION TOUTES LES TANGENTES D?UNE COURBE	327
CHAPITRE XXV. - THÉORIE DES FIGURES HOMOGRAPHIQUES	337

§ I. - Définition et construction générale des figures homograpspanques	337
§ II. - Développements relatifs aux propriétés métriques des figures homograpspanques. - Nouvelles définitions de ces figures	342
§ III. - Figures homologiques	348
§ IV. - Expression analytique des figures homograpspanques	356
§ V. - Figures homograpspanques ayant deux droites homologues coïncidentes à l'infini	359
§ VI. - Propriétés relatives au système des deux figures homograpspanques placées doeune manière quelconque loeune par rapport à l'autre	364

1. De la courbe lieu des points d'intersection des rayons homologues de deux faisceaux homograpspanques	364
2. De la courbe enveloppe des droites qui joignent deux à deux les points homologues de deux divisions homograpspanques	368
3. Propriétés relatives à deux figures homograpspanques	373
4. Où l'on démontre que deux figures homograpspanques quelconques peuvent être placées de manière à être homologiques ou perspectives loeune de l'autre	375
5. Figures homograpspanques dans lesquelles il existe deux droites homologues à l'infini	380

CHAPITRE XXVI. - THÉORIE DES FIGURES CORRÉLATIVES

382

§ I. - Définition et construction des figures corrélatives	382
§ II. - Développements relatifs aux propriétés métriques des figures corrélatives. - Nouvelle définition de ces figures	388
§ III. - Expression analytique des figures corrélatives	391
§ IV. - Propriétés de situation de deux figures corrélatives	395

CHAPITRE XXVII. - APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES FIGURES HOMOGRAPHIQUES ET DE CELLE DES FIGURES CORRÉLATIVES, REGARDÉES COMME MÉTHODES DE DÉMONSTRATION

399

§ I. - Considérations sur loeusage des deux méthodes. - Principe de dualité	399
§ II. - Pourquoi l'on ne fait pas usage, dans le cours de cet Ouvrage, des méthodes de transformation	401
§ III. - Applications diverses des deux méthodes de transformation	403
1. Transformation des relations de segments	403
2. Transformation des relations d?angles	411
3. Usages de la théorie des figures homologiques et de celle des polaires réciproques pour les transformations d?angles	416

QUATRIÈME SECTION. - Des cercles

421

CHAPITRE XXVIII. - PROPRIÉTÉS RELATIVES A UN CERCLE

421

§ I. - Du rapport anharmonique de quatre points doeun cercle	421
§ II. - Du rapport anharmonique de quatre tangentes à un cercle	429
§ III. - Propriétés diverses	434
§ IV. - Des pôles et polaires dans le cercle	438

1. Polaire doeun point. - Pôle doeune droite	438
2. Autre manière de démontrer les propositions précédentes	441
3. Propositions relatives à la théorie des pôles et polaires	444
4. Quadrilatère circonscrit au cercle	447
5. Quadrilatère inscrit au cercle	449
6. Propriétés relatives à trois cordes passant par un même point	451
7. Propriétés relatives à trois angles circonscrits qui ont leurs sommets en ligne droite	452
8. Figures polaires réciproques	453

CHAPITRE XXIX. - PROPRIÉTÉS RELATIVES A DEUX CERCLES

457

1. Des centres de similitude de deux cercles	457
2. Corde commune à deux cercles, ou axe radical	459
3. Des cercles considérés comme figures homologiques	462
4. Propriétés de deux cercles relatives à l'axe radical	466
5. Propriétés relatives au quadrilatère circonscrit à deux cercles	470
6. Cas où un cercle se réduit à un point	473

CHAPITRE XXX. - SYSTÈME DE TROIS OU PLUSIEURS CERCLES AYANT LE MÊME AXE RADICAL	476
CHAPITRE XXXI. - PROPRIÉTÉS DE DEUX CERCLES, RELATIVES AUX DEUX POINTS DONT CHACUN A LA MÊME POLAIRE DANS LES DEUX CERCLES	490
CHAPITRE XXXII. - SYSTÈME DE TROIS CERCLES QUELCONQUES. - CONTACTS DES CERCLES	496

1. Propriétés relatives à trois cercles	496
2. Cercle tangent à trois autres	498

CHAPITRE XXXIII. - CERCLE IMAGINAIRE

502

1. Ce qu?on entend par l'expression cercle imaginaire	502
2. Propriétés relatives à un cercle imaginaire	506

CHAPITRE XXXIV. - APPLICATION DES THÉORÈMES RELATIFS A UN CERCLE IMAGINAIRE AUX PROPRIÉTÉS DES CONES A BASE CIRCULAIRE

512

1. Considérations préliminaires	512
2. Propriétés relatives aux plans cycliques doeun cône à base circulaire	515
3. Propriétés de deux cônes homocycliques	520
4. Propriétés relatives aux lignes focales doeun cône	525
5. Cônes supplémentaires	529

CHAPITRE XXXV. - PROPRIÉTÉS DE DEUX CERCLES, RELATIVES A LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

533

1. Théorème général	533
2. Représentation géométrique des équations relatives aux fonctions elliptiques	536
3. Autre mode de représentation, dans le cercle, des équations relatives aux fonctions elliptiques	539
4. Transformation des fonctions elliptiques	544

DISCOURS d?inauguration du Cours de GÉOMÉTRIE SUPÉRIEURE de la, Faculté des Sciences de Paris, le 22 décembre 1846

547

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Hachette
Auteur(s)	Michel Chasles
Collection	Sciences
Parution	01/04/2020
Nb. de pages	698
Format	15.6 x 23.4
Couverture	Broché
Poids	949g
EAN13	9782329408415