Cours d'analyse mathématique. théorie en fonctions analytiques

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Cours d'analyse mathématique. théorie en fonctions analytiques

Édouard Goursat - Collection Sciences

692 pages, parution le 01/02/2021

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Résumé

Cours d'analyse mathématique. Théorie en fonctions analytiques... / par Edouard Goursat,...
Date de l'édition originale : 1917-1923

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L'auteur - Édouard Goursat

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Sommaire

TABLE DES MATIÈRES.

CHAPITRE XIII.

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES D'UNE VARIABLE COMPLEXE.

	Pages.
I. - GÉNÉRALITÉS. - FONCTIONS MONOGÈNES	1

259. Définitions.	1
260. Fonctions continues d'une variable complexe	5
261. Fonctions monogènes	6
262. Fonctions holomorphes	10
263. Fonctions rationnelles	11
264. Étude de quelques fonctions irrationnelles	12
265. Fonctions uniformes et multiformes	17

II. - SÉRIES ENTIÈRES A TERMES IMAGINAIRES. - TRANSCENDANTES ÉLÉMENTAIRES

266. Cercle de convergence	18
267. Séries de séries	22
268. Développement en série entière d'un produit infini	23
269. La fonction exponentielle	26
270. Fonctions circulaires	28
271. Logarithmes	30
272. Fonctions inverses: arc sin z, arc tang z	33
273. Application au Calcul intégral	36
274. Décomposition en éléments simples d'une fonction rationnelle de sin z et de cos z	38
275. Développement de Log (1 + Z)	41
276. Extension de la formule du binome	44

III. - NOTIONS SUR LA REPRÉSENTATION CONFORME

277. Interprétation géométrique de la dérivée	47
278. Recherche générale des transformations conformes	50
279. Représentation conforme d'un plan sur un plan	54
280. Théorème de Riemann	55
281. Cartes géograpspanques	57
282. Courbes isothermes	60

Exercices

CHAPITRE XIV.

THÉORIE GÉNÉRALE DES FONCTIONS ANALYTIQUES, D'APRÈS CAUCHY.

I. - INTÉGRALES DÉFINIES PRISES ENTRE DES LIMITES IMAGINAIRES

283. Definitions et généralités	67
284. Changements de variables	69
285. Formules de Weierstrass et de M. Darboux	72
286-288. Intégrales le long d'un contour fermé	74
289. Extension des formules du Calcul intégral	81
290. Autre démonstration des résultats précédents	83

II. - INTÉGRALE DE CAUCHY. - SÉRIES DE TAYLOR ET DE LAURENT. - POINTS SINGULIERS. - RÉSIDUS

291. Formule fondamentale	85
292. Théorème de Morera	88
293. Série de Taylor	89
294. Théorème de Liouville	92
295. Série de Laurent	93
296. Séries diverses	96
297. Séries de fonctions holomorphes	100
298. Pôles	102
299. Fonctions méromorphes	104
300. Points singuliers essentiels	105
331. Résidus	108

III. - APPLICATIONS DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX

110

302. Remarques diverses	110
303. Calcul d'intégrales définies élémentaires	111
304. Intégrales définies diverses	112
305. Calcul de ' (p) ' (1 - p)	116
306. Application aux fonctions méromorphes	117
307. Application à la théorie des équations	120
308. Formule de M. Jensen	121
309. Formule de Lagrange	123
310. Étude d'une fonction pour les valeurs infiniment grandes de la variable	126

IV. - PÉRIODE DES INTÉGRALES DÉFINIES

130

311. Périodes polaires	130
312. Étude de l'intégrale	133
313. Périodes des intégrales ultra-elliptiques	135
314. Périodes de l'intégrale elliptique de première espèce	140

Exercices

142

CHAPITRE XV.

FONCTIONS UNIFORMES.

I. - FACTEURS PRIMAIRES DE WEIERSTRASS. - THÉORÈME DE MITTALEFFLER

153

315. Expression l'une fonction entière par un produit de facteurs primaires	153
316. Genre d'une fonction entière	159
317. Fonctions uniformes avec un nombre fini de points singuliers	159
318. Fonctions uniformes avec une infinité de points singuliers	161
319. Théorème de M. Mittag-Leffler	162
320. Étude de quelques cas particuliers	164
321. Méthode de Cauchy	167
322. Développement de cot x et de sin x	170

II. - FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. - FONCTIONS ELLIPTIQUES

174

323. Fonctions périodiques. - Développements en séries	174
324. Impossibilité d'une fonction uniforme à trois périodes	177
325. Fonctions doublement périodiques	179
326. Fonctions elliptiques. - Propriétés générales	180
327. La fonction u.	185
328. Relation algébrique entre u et 'u	189
329. La fonction u	191
330. La fonction	194
331. Expressions générales des fonctions elliptiques	195
332. Formules d'addition	199
333. Intégration des fonctions elliptiques	201
334. La fonction	203

III. - INVERSION. - COURBES DU PREMIER GENRE

207

335. Relations entre les périodes et les invariants	207
336. La fonction inverse de l'intégrale elliptique de première espèce	209
337. Nouvelle définition de u au moyen des invariants	218
338. Application aux cubiques planes	221
339. Formules générales d'inversion	225
340. Courbes du premier genre	229

Exercices

232

CHAPITRE XVI.

LE PROLONGEMENT ANALYTIQUE.

I. - DÉFINITION D'UNE FONCTION ANALYTIQUE PAR UN DE SES ÉLÉMENTS

235

341. Première idée du prolongement analytique	235
342. Nouvelle définition des fonctions analytiques	238
313. Points singuliers	245
341. Problème général	248

II. - ESPACES LACUNAIRES - COUPURES

250

345. Lignes singulières. Espaces lacunaires	250
346. Exemples.	253
347. Singularités des expressions analytiques.	256
318. Formule de M. Hermite	258

Exercices

260

CHAPITRE XVII.

FONCTIONS ANALYTIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES.

I. - PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

263

349. Définitions	263
350. Cercles de convergence associés	264
351. Intégrales doubles	267
352. Extension des théorèmes de Cauchy	270
353. Fonctions représentées par des intégrales définies	272
354. Application à la fonction	275
355. Prolongement analytique d'une fonction de deux variables	276

II. - FONCTIONS IMPLICITES. - FONCTIONS ALGÉBRIQUES

279

356. Théorème Weierstrass	279
357. Points critiques	283
358. Fonctions algébriques	287
359. Intégrales abéliennes	291
360. Théorème d'Abel	292
361. Application aux intégrales ultra-elliptiques	295
362. Extension de la formule de Lagrange	300

Exercices

302

CHAPITRE XVIII.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. - MÉTHODES ÉLÉMENTAIRES D'INTÉGRATION.

I. - FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

303

363. Élimination des constantes

303

II. - ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE

306

364. Séparation des variables	307
365. Équations homogènes	308
366. Équations linéaires	310
367. Équation de Bernoulli	312
368. Équation de Jacobi	312
369. Equation de Riccati	313
370. Équations non résolues par rapport à y'	316
371. Équation de Lagrange	318
372. Équation de Clairaut	319
373. Intégration des équations F (x, y') = 0, F (y, y') = 0	321
374. Facteur intégrant	322
375. Application à la représentation conforme	326
376. Équation d'Euler	327
377. Méthode déduite du théorème d'Abel	332
378. Théorèmes de M. Darboux	334
379. Applications	338

III. - ÉQUATIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR

341

380. Intégration de l'équation	341
381. Cas divers d'abaissement	344
382. Applications	347

Exercices

350

CHAPITRE XIX.

THÉORÈMES D'EXISTENCE.

I. - CALCUL DES LIMITES

354

383. Généralités	354
384. Existence des intégrales d'un système d'équations différentielles	354
385. Systèmes d'équations linéaires.	360
386. Équations aux différentielles totales	361
387. Application du calcul des limites aux équations aux dérivées partielles	363
388. Intégrale générale d'un système d'équations différentielles	369

II. - MÉTHODE DES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. - MÉTHODE DE CAUCHY-LIPSCHITZ

374

389. Approximations successives	374
390. Cas des équations linéaires	378
391. Extension aux fonctions analytiques	379
392. Méthode de Cauchy-Lipscspantz	382

III. - INTÉGRALES PREMIÈRES. - MULTIPLICATEUR

389

393. Intégrales premières	389
394. Multiplicateur	397
395. Invariants intégraux	401

IV. - TRANSFORMATIONS INFINITESIMALES

404

396. Groupes à un paramètre	404
397. Application aux équations différentielles	408
398. Transformations infinitésimales	410

Exercices

418

CHAPITRE XX.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.

I. - PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES. - SYSTÈMES FONDAMENTAUX

420

399. Points singuliers d'une équation différentielle linéaire	420
400. Systèmes fondamentaux	422
401. Équations linéaires quelconques	428
402. Abaissement de l'ordre d'une équation linéaire	431
403. Analogies avec les équations algébriques	436
404. Équation adjointe	438

II. - ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS PARTICULIÈRES

440

405. Équations à coefficients constants	440
406. Méthode de d'Alembert	447
407. Équations linéaires d'Euler	448
408. Équation de Laplace	450

III. - INTÉGRALES RÉGULIÈRES. - ÉQUATIONS A COEFFICIENTS PÉRIODIQUES

454

409. Permutation des intégrales autour d'un point critique	455
410. Examen du cas général	457
411. Forme analytique des intégrales	459
412. Théorème de Fuchs	462
413. Équation de Gauss	469
414. Équation de Besset	471
415. Équations de M. E. Picard	474
416. Équations à coefficients périodiques	478
417. Exposants caractéristiques	482

IV. - SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES

484

418. Propriétés générales	484
419. Systèmes adjoints	489
420. Systèmes linéaires à coefficients constants	491
421. Réduction à une forme canonique	495
422. Équation de Jacobi	497
423. Systèmes à coefficients périodiques	498
424. Systèmes réductibles	500

Exercices

502

CHAPITRE XXI.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES NON LINÉAIRES.

I. - VALEURS INITIALES EXCEPTIONNELLES

508

425. Cas où le coefficient différentiel devient infini	508
426. Cas où le coefficient différentiel est indéterminé	509
427. Cas général	514

II. - ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE.

518

428. Points singuliers des intégrales	518
429. Fonctions définies par une équation différentielle	520
430. Fonctions uniformes déduites de l'équation	527
431. Existence des fonctions elliptiques déduites de l'équation d'Euler	534
432. Équations d'ordre supérieur	537

III. - INTÉGRALES SINGULIÈRES

539

433. Intégrale singulière d'une équation du premier ordre	539
434. Exemples. - Remarques diverses	547
435. Interprétation géométrique	550
436. Intégrales singulières des systèmes d'équations différentielles	551

Exercices

557

CHAPITRE XXII.

ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE.

I. - ÉQUATIONS LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE

559

437. Méthode générale	559
438. Interprétation géométrique	563
439. Congruences caractéristiques	568

II. - ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES.

572

440. Étude de l'équation dz = A dx + B dy	572
441. Méthode de Mayer	576
442. Étude de l'équation P dx + Q dy + R dz = 0	578
443. Les parenthèses (u, v) et les crochets [u, v]	583

III. - ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE A TROIS VARIABLES

585

444. Intégrales complètes	585
445. Méthode de Lagrange et Charpit	591
446. Problème de Cauchy	598
447. Caractéristiques. Méthode de Cauchy	602
448. Les caractéristiques déduites d'une intégrale complète	613
449. Extension de la méthode de Cauchy	616

IV. - ÉQUATIONS SIMULTANÉES

620

450. Systèmes linéaires et homogènes	620
451. Systèmes complets	623
452. Généralisation de la théorie des intégrales complètes	628
453. Systèmes en involution	631
454. Méthode de Jacobi	635

V. - GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR

636

455. Élimination des fonctions arbitraires	636
456. Théorème général d'existence	642

Exercices

647

NOTE. - Sur un théorème de M. Picard et ses généralisations	651
FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES DU TOME II.

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Hachette
Auteur(s)	Édouard Goursat
Collection	Sciences
Parution	01/02/2021
Nb. de pages	692
Format	15.6 x 23.4
Couverture	Broché
Poids	941g
EAN13	9782329566009