Cours d'analyse mathématique. 5e édition

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Cours d'analyse mathématique. 5e édition

Édouard Goursat - Collection Sciences

718 pages, parution le 01/01/2021

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Résumé

Cours d'analyse mathématique (5e éd. revue et corrigée) / par Edouard Goursat,...
Date de l'édition originale : 1927-1929

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Sommaire

TABLE DES MATIÈRES.

CHAPITRE XIII.

FONCTIONS ÉLÉMENTAIRES D'UNE VARIABLE COMPLEXE

	Pages.
I. - GÉNÉRALITÉS. - FONCTIONS MONOGÈNES	1

255. Définitions	1
256. Fonctions continues d'une variable complexe	5
257 Fonctions monogènes	6
258. Fonctions holomorphès	10
259. Fonctions rationnelles	11
260. Étude de quelques fonctions irrationnelles	13
261. Fonctions uniformes et multiformes	17

II. - SÉRIES ENTIÈRES A TERMES IMAGINAIRES. TRANSCENDANTES ÉLÉMENTAIRES

262. Cercle de convergence	19
263. Séries de séries	23
264. Développement en série entière d'un produit infini	24
265. La fonction exponentielle	26
266 Fonctions circulaires	29
267. Logarithmes	30
268. Fonctions inverses: arc sin z, arc tang z	33
269. Application au calcul intégral	36
270. Décomposition en éléments simples d'une fonction rationnelle de sin z et de cos z	38
271. Développement de log (1 + z)	42
272. Extension de la formule du binome	44

III. - TRANSFORMATIONS CONFORMES DU PLAN

273. Interprétation géométrique de la derivée	47
274. Théorème de Riemann	52
275. Courbes isothermes	54

Exercices

CHAPITRE XIV.

THÉORIE GÉNÉRALE DES FONCTIONS ANALYTIQUES D'APRÈS CAUCHY.

I. - INTÉGRALES DÉFINIES PRISES ENTRE DES LIMITES IMAGINAIRES

276. Définitions et généralités	61
277. Changements de variable	63
278. Formules de Weierstrass et de Darboux	66
279. Intégrales le long d'un contour fermé	68
280. Examen des hypothèses nécessaires pour la démonstration	71
281. Généralisation de l'énoncé	73
282. Extension des formules du calcul intégral	75
283. Autre démonstration des résultats précédents	77

II. INTÉGRALE DE CAUCHY. SÉRIES DE TAYLOR ET DE LAURENT. POINTS SINGULIERS. RÉSIDUS

284. Formule fondamentale	79
285. Théorème de Morera	82
286. Série de Taylor	83
287. Théorème de Liouville	86
288. Série de Laurent	87
289. Séries diverses	91
290. Séries de fonctions holomorphes. Théorème de Weierstrass	94
291. Poles	96
292. Fonctions méromorphes	98
293. Points singuliers essentiels	99
294. Résidus	102

III. - APPLICATION DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX

103

295. Remarques diverses	103
296. Calcul d'intégrales définies élémentaires	104
297. Intégrales définies diverses	106
298. Calcul de	109
299. Application aux fonctions méromorphes	110
300. Application à la théorie des équations	113
301. Formule de M. Jensen	115
302. Formule de Lagrange	116
303. Étude d'une fonction pour les valeurs infiniment grandes de la variable	120

IV. - PÉRIODES DES INTÉGRALES DÉPINIES

123

304. Périodes polaires	123
305. Étude de l'intégrale	126
306. Périodes des intégrales ultra-elliptiques	128
307. Périodes de l'intégrale elliptique de première espèce	133

Exercices

135

CHAPITRE XV

FONCTIONS UNIFORMES.

I. - FACTEURS PRIMAIRES DE WEIERSTRASS. THÉORÈME DE MITTAG-LEFFLER

146

308. Expression d'une fonction entière par un produit de facteurs primaires	146
309. Genre d'une fonction entière	152
310. Fonctions uniformes avec un nombre fini de points singuliers	152
311. Fonctions uniformes avec une infinité de points singuliers	154
312. Théorème de Mittag-Leffler	155
313. Étude de quelques cas particuliers	157
314. Méthode de Cauchy	160
315. Développement de cot x et de sin x	165

II. - FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. FONCTIONS ELLIPTIQUES

168

316. Fonctions périodiques. Développements en séries	168
317. Impossibilité d'une fonction uniforme à trois périodes	170
318. Fonctions doublement périodiques	172
319. Fonctions elliptiques. Propriétés générales	174
320. La fonction pu	178
321. Rélation algébrique entre u et u	182
322. La fonction u	184
323. La fonction u	187
324 Expressions générales des fonctions elliptiques	189
325. Formules d'addition	192
326. Intégration des fonctions elliptiques	194
327. La fonction	197

III. - INVERSION. COURBES DU PREMIER GENRE

200

328. Relations entre les périodes et les invariants	200
329. La fonction in verse de l'intégrale elliptique de première espèce	202
330. Nouvelle définition de pu au moyen des invariants	211
331. Application aux cubiques planes	214
332. Formules générales d'inversion	218
333. Courbes du premier genre	222

Exercices

226

CHAPITRE XVI.

LE PROLONGEMENT ANALYTIQUE.

I. DÉFINITION D'UNE FONCTION ANALYTIQUE PAR UN DE SES ÉLÉMENTS

229

334. Première idée du prolongement analytique	229
335. Nouvelle définition des fonctions analytiques	232
336. Points singuliers	239
337. Problème général	241

II. - MÉTHODES DIVERSES DE PROLONGEMENT ANALYTIQUE

244

338. Changement de variable	244
339. Suites partielles	247
340. Transformation en une intégrale	249
341. Théorème d'Hadamard	253
342. Théorème de Mittag-Leffier	255
343. Théorème de Painlevé	257

III. - ESPACES LACUNAIRES. COUPURES

258

344. Lignes singulières. Espaces lacunaires	259
345. Exemples	262
346. Singularités des expressions analytiques	265
347. Formule de M. Hermite	266

Exercices

270

CHAPITRE XVII.

FONCTIONS ANALYTIQUES DE PLUSIEURS VARIABLES.

I. - PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES

272

348. Définitions	272
349. Cercles de convergence associés	273
350. Intégrales doubles	276
351. Extension des théorèmes de Cauchy	279
352. Fonctions représentées par des intégrales définies	281
353. Application à la fonction	284
354. Prolongement analytique d'une fonction de deux variables	285

II. - FONCTIONS IMPLICITES. FONCTIONS ALGÉBRIQUES

287

355. Théorème de Weierstrass	287
356. Points critiques	292
357. Fonctions algébriques	296
358. Intégrales abéliennes	300
359. Théorème d'Abel	301
360. Application aux intégrales ultra-elliptiques	304
361. Extension de la formule de Lagrange	308

Exercices

310

CHAPITRE XVIII.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. MÉTHODES ÉLÉMENTAIRES D'INTÉGRATION.

I. - FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

312

362. Elimination des constantes

312

II. - ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE

315

363. Séparation des variables	316
364. Équations homogènes	317
365. Équations linéaires	319
366. Équation de Bernoulli	321
367. Équation de Jacobi	321
368. Équation de Riccati	322
369. Équations non résolues par rapport a'y	325
370. Équation de Lagrange'	327
371. Équation de Clairaut	329
372. Intégration des équations F (x, y') = 0, F(y, y') = 0	330
373. Facteur intégrant	331
374 Application à la représentation conforme	335
375. Équation d'Euler	336
376. Méthode déduite du théorème d'Abel	341
377. Théorèmes de G. Darboux	343
378. Applications	347

III. - ÉQUATIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR

350

379. Intégration de l'équation	350
380. Cas divers d'abaissement	353
381. Applications	356

Exercices

359

CHAPITRE XIX.

THÉORÈMES D'EXISTENCE.

I. - CALCUL DES LIMITES

364

382. Généralités	364
383. Existence des intégrales d'un système d'équations différentielles	364
384. Systèmes d'équations linéaires	370
385. Équations aux différentielles totales	371
386. Application du calcul des limites aux équations aux dérivées partielles	374
387. Intégrale générale d'un système d'équations différentielles	379

II. - MÉTHODE DES APPROXIMATIONS SUCCESSIVES. MÉTHODE DE CAUCHY-LIPSCHITZ

384

388. Approximations successives	384
389. Cas des équations linéaires	388
390. Extension aux fonctions analytiques	390
391. Méthode de Cauchy-Lipscspantz	392
392. Développement de en série de polynomes	400

III. - INTÉGRALES PREMIÈRES. MULTIPLICATEUR

403

393. Intégrales premières	403
394. Multiplicateur	411
395. Invariants intégraux	414

IV. - TRANSFORMATIONS INFINITÉSIMALES

417

396. Groupes à un paramètre	417
397. Application aux équations différentielles	421
398. Transformations infinitésimales	423

Exercices

431

CHAPITRE XX.

ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES.

I. - PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES. SYSTÈMES FONDAMENTAUX

433

399. Points singuliers d'une équation différentielle linéaire	433
400. Systèmes fondamentaux	435
401. Équations linéaires quelconques	441
402. Abaissement de l'ordre d'une équation linéaire	444
403. Analogies avec les équations linéaires	449
404. Équation adjointe	451

II. ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS PARTICULIÈRES

453

405. Équations à coefficients constants	453
406. Méthode de d'Alembert	460
407. Equations linéaires d'Euler	462
408 Équation de Laplace	463

III. INTÉGRALES RÉGULIÈRES. ÉQUATIONS A COEFFICIENTS PÉRIODIQUES

468

409. Permutation des intégrales autour d'un point critique	469
410. Examen du cas général	471
411. Forme analytique des intégrales	474
412. Théorème de Fuchs	476
413. Équation de Gauss	483
414. Équation de Bessel	485
415. Équation de M. E. Picard	488
416. Équations à coefficients périodiques	492
417. Exposants caractéristiques	496

IV. - SYSTÈMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES

498

418. Propriétés générales	498
419. Systèmes adjoints	503
420. Systèmes linéaires à coefficients constants	505
421. Réduction à une forme canonique	509
422. Equation de Jacobi	510
423 Systèmes à coefficients périodiques	512
424. Systèmes réductibles	514

Exercices

516

CHAPITRE XXI.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES NON LINÉAIRES.

I. - VALEURS INITIALES EXCEPTIONNELLES

522

425. Cas où le coefficient différentiel devient infini	522
426-427. Cas où le coefficient différentiel est indéterminé	523

II. - ÉTUDE DE QUELQUES ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE

532

428. Points singuliers des intégrales	532
429 Fonctions définies par une équation différentielle y' = R(x, y)	534
430. Fonctions uniformes déduites de l'équation ym = R (y)	540
431 Existence des fonctions elliptiques déduites de l'équation d'Euler	548
432. Équations d'ordre supérieur	551

III. - INTÉGRALES SINGULIÈRES

553

433. Intégrale singulière d'une équation du premier ordre	553
434. Exemples. Remarques diverses	561
435. Interprétation géométrique	563
436. Intégrales singulières des systèmes d'équations différentielles	565

Exercices

571

CHAPITRE XXII.

EQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE.

I. - ÉQUATIONS LINÉAIRES DU PREMIER ORDRE

573

437. Méthode générale	573
438. Interprétation géométrique	577
439. Congruences caractéristiques	582

II. - ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES

440. Étude de l'équation dz = Adx + Bdy	586
441. Méthode de Mayer	591
442. Étude de l'équation Pdx + Qdy 4 Rdz - 0	592
443. Les parenthèses (u, v) et les crochets [u, v]	598

III. - ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE A TROIS VARIABLES

600

444. Intégrales complètes	600
445. Méthode de Lagrange et Charpit	605
446. Problème de Cauchy	612
447. Caractéristiques. Méthode de Cauchy	616
448. Les caractéristiques déduites d'une intégrale complète	627
449. Extension de la méthode de Cauchy	629

IV. - ÉQUATIONS SIMULTANÉES

634

450. Équations linéaires et homogènes	634
451. Systèmes complets	637
452. Généralisation de la théorie des intégrales complètes	642
453. Systèmes en involution	644
454. Méthode de Jacobi	648

V. - GÉNÉRALITÉS SUR LES ÉQUATIONS D'ORDRE SUPÉRIEUR

650

455. Élimination des fonctions arbitraires	650
456. Théorème général d'existence	656

Exercices	660
NOTE sur les suites de fonctions analytiques	665

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Hachette
Auteur(s)	Édouard Goursat
Collection	Sciences
Parution	01/01/2021
Nb. de pages	718
Format	15.6 x 23.4
Couverture	Broché
Poids	971g
EAN13	9782329559254