Cours d'analyse de l'école polytechnique. calcul intégral. intégrales définies et indéfinies
Camille Jordan - Collection Sciences
Résumé
Date de l'édition originale : 1882-1887
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Sommaire
TABLE DES MATIÈRES.
DEUXIÈME PARTIE.
CALCUL INTÉGRAL.
INTÉGRALES DÉFINIES ET INDÉFINIES.
CHAPITRE I.
INTÉGRALES INDÉFINIES.
I. - Procédés d'intégration.
Numéros | Pages | |
1-3. | Intégration immédiate | 1 |
3-4. | Décomposition en éléments simples | 4 |
5-6. | Changement de variable | 5 |
7-9. | Intégration par parties | 6 |
II. - Intégration des fractions rationnelles.
10-19. | Décomposition en fractions simples. - Exemples | 9 |
III. - Intégration des différentielles algébriques.
20-22. | Intégration des différentielles dépendant doeune courbe unicursale. - Exemples | 19 |
23-25. | Différentielles binômes. - Cas d'intégrabilité. - Formules de réduction | 21 |
26-30. | Intégration de | 23 |
31. | Intégration de | 29 |
IV. - Intégrales elliptiques et hyperelliptiques.
32-39. | Formules de réduction | 29 |
40-47. | Réduction des intégrales elliptiques | 37 |
V. - Intégration des fonctions transcendantes.
48. | Intégration de f (ax) | 45 |
49-50. | Intégration de f (sin x, cos x) dx | 46 |
51. | Intégration de f (x, ax,..., cos x, sin x,...) dx | 49 |
52. | Réduction des intégrales | 50 |
53. | Des intégrales | 51 |
CHAPITRE II.
INTÉGRALES DÉFINIES.
I. - Définitions.
54-60. | Définition et propriétés fondamentales des intégrales définies. - Leur interprétation géométrique | 52 |
61. | Cas où la fonction ou le champ d?intégration deviennent infinis. - Valeur principale doeune intégrale indéterminée | 59 |
II. - Calcul des intégrales définies.
62-63. | Usage de l'intégrale indéfinie | 62 |
64-65 | Application à edx, à | 64 |
66. | Décomposition en parties | 68 |
67-70. | Changement de variable. - Exemples | 69 |
71. | Intégration par parties | 74 |
72. | Application à - Formule de Wallis | 75 |
73-74. | Application à -Incommensurabilité de | 77 |
III. - Calcul approché des intégrales définies.
75. | Limites de la valeur d'une intégrale définie. - Théorème de la moyenne | 80 |
76-77. | Caractères pour reconnaître si une intégrale est finie et déterminée | 82 |
78-81. | Applications | 86 |
82. | Second théorème de la moyenne | 89 |
83-85. | Développement doeune intégrale en série. - Intégration et différentiation des séries | 92 |
86. | Développement de arc sin x | 93 |
87-89. | Développement de | 94 |
90-92. | Transformation de Landen | 95 |
93. | Règle de convergence pour les séries | 98 |
94-98. | Formule d?Euler | 99 |
99-108. | Interpolation. - Méthodes de Cotes et de Gauss. - Méthode des trapèzes. - Formule de Simpson | 105 |
IV. - Applications géométriques.
109-114. | Aire des courbes planes. - Parabole, hyperbole, cycloïde, ellipse. - Aire doeune courbe fermée | 112 |
115. | Aire en coordonnées polaires | 119 |
116-120. | Rectification des courbes. - Cycloïde, parabole, ellipse | 120 |
120. | Rectification des courbes gauches | 123 |
CHAPITRE III.
INTÉGRALES MULTIPLES.
121-124. | Volumes. - Définition et mode de calcul - On peut renverser l'ordre des intégrations | 124 |
125. | Volume du tétraèdre trirectangle | 130 |
126-127. | Volume en coordonnées curvilignes. - Application au solide de Viviani | 131 |
128-130. | Aire des surfaces courbes | 135 |
131. | Aire et volume des surfaces réglées | 137 |
132. | Aire et volume des surfaces de révolution | 138 |
133-136. | Aire et volume de l'ellipsoïde | 138 |
137-141. | Masses, centres de gravité, moments d?inertie. Leur calcul par des intégrales triples | 141 |
142. | Moment d?inertie doeune sphère | 145 |
143-146. | Intégrales multiples. - Changements de variables | 146 |
147-150. | Définition des intégrales multiples, quand la fonction ou le champ d?intégration deviennent infinis. - Condition d?existence de l'intégrale | 149 |
151-153. | Exceptions aux théorèmes démontrés sur les intégrales multiples. - Démonstration donnée par Gauss de l'existence doeune racine pour toute équation algébrique | 154 |
CHAPITRE IV.
DES FONCTIONS REPRÉSENTÉES PAR DES INTÉGRALES DÉFINIES.
I. - Différentiation et intégration sous le signe .
154-155. | Différentiation par rapport aux limites | 158 |
156-162. | Différentiation par rapport à un paramètre | 159 |
163. | Intégration sous le signe | 164 |
164-165. | Intégration des différentielles totales | 164 |
166-167. | Calcul de | 167 |
168-169. | Calcul de | 168 |
170-172. | Calcul de | 170 |
173-174. | Calcul de | 174 |
II. - Intégrales eulériennes.
175. | Différentes formes de l'intégrale (n) | 177 |
176. | Son expression par un produit infini | 178 |
177. | (n + 1) = n (n) | 180 |
178-182. | Expression de log(n) par une intégrale définie. - Son développement en série | 180 |
183-185. | Théorème de Bernoulli | 187 |
186- 187. | Intégrale eulérienne de première espèce. - Son expression par les fonctions | 190 |
188-189. | Réduction de l'intégrale - Moment d?inertie de l'ellipsoïde | 192 |
III. - Potentiel.
190-191. | Définition du potentiel. Son équation aux dérivées partielles pour un point extérieur à la masse attirante | 194 |
192-199. | Cas du point intérieur | 196 |
200-202. | Réduction à des intégrales doubles quand la densité est constante | 202 |
203-206. | Attraction doeun ellipsoïde homogène. - Cas doeune sphère | 204 |
207-210. | Potentiel doeune surface. - Discontinuité de l'attraction | 208 |
211-215. | Théorèmes de Green | 212 |
CHAPITRE V
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE.
I. - Formules de Fourier.
216-222. | Théorème de M. du Bois-Reymond | 216 |
223-229. | Intégrales de Fourier | 220 |
230-231. | Intégrales analogues formées avec les fonctions Xn | 226 |
II. - Séries trigonométriques.
232. | Développements en sinus et cosinus. - Calcul des coefficients. | 228 |
233-235. | Sommation des séries obtenues | 230 |
236-238. | Autres développements analogues | 234 |
III. - Fonctions de Laplace.
239-242. | Définition et propriétés fondamentales | 236 |
243-248. | Développement d'une fonction de deux angles en fonctions de Laplace | 240 |
249-251. | Développement doeune fonction doeune seule variable en fonctions de Legendre | 244 |
252-255. | Développement suivant les réduites de l'intégrale | 248 |
CHAPITRE VI.
VARIABLES IMAGINAIRES.
I. - Fonctions doeune variable imaginaire.
256-257. | Définition. - Interprétation géométrique | 252 |
258-260. | Étude des fractions rationnelles. - Des fonctions et | 256 |
261-265. | Étude de log z et de (z - a) m | 257 |
266-272. | Fonctions algébriques | 264 |
273-274. | Fonctions monodromes ou non monodromes - Points critiques, leur classification | 270 |
II. - Intégrales des fonctions monodromes.
275-278. | Intégrales définies. - Leurs propriétés élémentaires | 272 |
279-284. | Déformation de la ligne d'intégration. - Théorème des résidus | 276 |
285-286. | Cas où l'intégrale prise sur un cercle de rayon infiniment petit ou infini est nulle | 283 |
287. | Valeur principale de | 284 |
288. | Application à | 288 |
289. | Valeur principale de | 289 |
290. | Application à | 290 |
291. | Calcul de | 291 |
292-296. | Expression des fonctions Xn par des intégrales définies | 293 |
III. - Théorèmes généraux sur les fonctions monodromes.
297-300. | Expression doeune fonction arbitraire et de ses dérivées par des intégrales définies | 297 |
301-302. | Série de Taylor | 300 |
303-304. | Série de Laurent | 302 |
305-306. | Zéros et pôles des fonctions monodromes. - Leur degré de multiplicité est entier | 304 |
307-309. | Valeur de l'intégrale - Existence des racines des équations algébriques | 305 |
310. | Série de Lagrange | 307 |
311. | Série de Fourier | 310 |
312-314. | Toute fonction sans point critique est une constante. - Une fonction qui n'a que des pôles est rationnelle | 312 |
315-317. | Fonctions entières. - Théorème de M. Weierstrass | 314 |
318-321. | Fonctions méromorphes. - Théorème de M. Mittag-Leffler | 317 |
322-323. | Fonctions qui ont n valeurs et dont les points critiques sont algébriques | 322 |
IV. - Fonctions doublement périodiques.
324-326. | Une fonction méromorphe ne peut avoir plus de deux périodes distinctes | 324 |
327-336. | Construction doeune fonction doublement périodique par ses zéros et ses pôles | 328 |
337-338. | Théorème de M. Hermite | 333 |
339-342. | Relation entre deux fonctions ayant les mêmes périodes. - Entre une fonction doublement périodique et sa dérivée | 335 |
CHAPITRE VII.
FONCTIONS ELLIPTIQUES.
I. - Intégrales des fonctions algébriques.
343-345. | Diverses valeurs de l'intégrale doeune fonction algébrique | 339 |
346. | Application à l'intégrale elliptique de première espèce | 343 |
347-349. | Théorème d?Abel | 345 |
350-351. | Application à l'intégrale elliptique | 349 |
II. - Définition et premières propriétés des fonctions elliptiques.
352-353. | Définition des trois fonctions elliptiques | 352 |
354-356. | Elles sont méromorphes et doublement périodiques | 354 |
357-358. | Résolution des équations sn u = sn , cn u = en , dn u = dn . - Zéros et pôles des trois fonctions | 358 |
359-363. | Valeur de sn , etc | 361 |
364-367. | Propriétés des périodes. - Périodes elliptiques | 365 |
368. | Cas où le module est réel, positif et < 1 | 369 |
369-372. | Addition des arguments. - Multiplication | 371 |
III. - Développements des fonctions elliptiques.
373. | Développement par la série de Maclaurin | 375 |
374-376. | Développement par la série de Fourier | 376 |
377-378. | Développement en série de fractions | 381 |
379-389. | Expression des fonctions elliptiques par les fonctions | 382 |
390-392. | Relations entre les fonctions . - Nouvelle démonstration des formules d'addition | 394 |
IV. - Transformation.
393-395. | Énoncé du problème. - Relations entre les périodes | 397 |
396. | Simplification du problème | 398 |
397-400. | Transformations du premier degré | 399 |
401-403. | Transformations du premier degré pour les fonctions | 403 |
404. | Division de la première période par 2 | 406 |
405. | Division de la deuxième période par 2 | 408 |
406. | Division de la première période par un nombre impair | 411 |
407. | Division de la deuxième période par un nombre impair | 414 |
408. | Multiplication de l'argument | 414 |
409-415. | Division de l'argument | 416 |
416-420. | Équation modulaire | 422 |
V. - Intégrales elliptiques de seconde et de troisième espèce.
421-423. | Intégrale de seconde espèce | 426 |
424-426. | Intégrale de troisième espèce | 428 |
427. | Relations entre les périodes | 431 |
FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES. |
Caractéristiques techniques
PAPIER | |
Éditeur(s) | Hachette |
Auteur(s) | Camille Jordan |
Collection | Sciences |
Parution | 01/04/2020 |
Nb. de pages | 492 |
Format | 15.6 x 23.4 |
Couverture | Broché |
Poids | 668g |
EAN13 | 9782329408569 |
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