Cours d'analyse de l'école polytechnique. calcul différentiel
Camille Jordan - Collection Sciences
Résumé
Date de l'édition originale : 1882-1887
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Sommaire
TABLE DES MATIÈRES.
INTRODUCTION.
Numeros | Pages | |
I-II. | Quantités continues | 1 |
III-IV. | Tangente à la parabole | 2 |
V. | Quadrature de la parabole | 2 |
VI-VII. | Infiniment petits de divers ordres | 4 à 5 |
VIII. | Valeur principale. - Développement en série | 5 |
IX-XI. | Dans une limite de rapport ou de somme on peut remplacer les infiniment petits par leurs valeurs principales | 6 à 7 |
PREMIÈRE PARTIE.
CALCUL DIFFÉRENTIEL.
CHAPITRE I.
DÉRIVÉES ET DIFFÉRENTIELLES.
I. - Définitions.
1. | Variables indépendantes. - Fonctions | 9 |
2. | Revue des fonctions élémentaires | 10 |
3. | Continuité | 11 |
II. - Dérivée et différentielle d'une fonction d'une seule variable.
4. | Dérivée | 12 |
5. | Dérivée de xm | 13 |
6. | Dérivée de sin x | 13 |
7-8. | Dérivée de log x | 14 |
9. | Dérivée d'une somme | 17 |
10. | Dérivée d'un produit | 17 |
11. | Dérivée d'un quotient | 18 |
12. | Dérivée d'une fonction de fonction | 18 |
13. | Dérivée d'une fonction inverse | 18 |
14. | Dérivée de cos x, tang x, arc sin x, arc tang x, ex, xm, etc | 19 |
15. | Formule f(a+h) -f (a) = h f'(a + h) | 21 |
16. | Une fonction dont la dérivée est constamment nulle est constante | 22 |
17. | Différentielle | 22 |
III. - Dérivées partielles. - Différentielle totale.
18. | Dérivées partielles | 23 |
19-21. | Différentielle totale | 24 à 26 |
22-23. | Dérivées et différentielle des fonctions composées | 26 à 28 |
24-26. | Dérivée des fonctions implicites | 28 à 30 |
IV. - Dérivées et différentielles d'ordre supérieur.
27-28. | Dérivées d'ordre supérieur | 30 à 31 |
29. | L'ordre des dérivations est indifférent | 31 |
30-31. | Différentielles d'ordre supérieur | 32 à 33 |
32. | Expression générale de la différentielle nième d'une fonction de plusieurs variables | 33 |
33. | Différentielle nième d'un produit | 35 |
34. | Différentielles successives d'une fonction composée | 35 |
V. - Changements de variables.
35. | Changement de la variable indépendante | 36 |
36. | Changement simultané de la fonction | 37 |
37. | Rayon de courbure en coordonnées polaires | 38 |
38. | Dérivées successives d'une fonction inverse | 39 |
39-40. | Extension au cas de plusieurs variables indépendantes | 40 à 41 |
41-42. | Application aux paramètres différentiels | 41 à 44 |
43. | Changement simultané de la fonction | 46 |
CHAPITRE II.
FORMATION DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
I. - Équations différentielles ordinaires.
44-45. | Définition | 47 |
46-49. | Équations différentielles linéaires, auxquelles satisfont arc sin x, | 47 à 51 |
50. | Élimination des constantes. | 51 |
51-53. | Équation différentielle des coniques homofocales: des cercles, des coniques, des paraboles | 52 à 54 |
54. | Condition pour que des fonctions soient liées par une relation linéaire | 55 |
II. - Équations aux dérivées partielles.
55. | Définition | 55 |
56. | Élimination des constantes | 55 |
57. | Élimination des fonctions arbitraires | 56 |
58-60. | Conditions pour que des fonctions soient liées par une relation. - Jacobien | 57 à 59 |
61-63. | Équation aux dérivées partielles des cylindres, des cônes, des surfaces de révolution | 61 à 62 |
64. | Théorème des fonctions homogènes | 63 |
65. | Élimination de n fonctions arbitraires dépendant des mêmes arguments | 63 |
66. | Équation des surfaces réglées | 65 |
67-68. | Équation des surfaces développables | 66 à 67 |
CHAPITRE III.
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE.
I. - Formule de Taylor.
69-71. | Formules de Taylor et de Maclaurin | 69 à 71 |
72-73. | Extension aux fonctions de plusieurs variables | 71 à 73 |
II. - Applications.
74. | Développement de (1 + x)m | 73 |
75-76. | Développement de log (1+x). - Calcul des Tables de logarithmes | 75 à 76 |
77-79. | Développement de ex, sin x, cos x | 77 à 78 |
80-81. | Développement de arc tang x. - Calcul de | 79 à 80 |
III. - Procédés pour effectuer les développements en série.
82-86. | Développement d'une somme, d'un produit, d'un quotient. | 80 à 83 |
87-88. | Application aux nombres de Bernoulli | 84 à 85 |
89-90. | Développement d'un radical | 85 à 86 |
91-93. | Application aux fonctions Xn | 87 à 89 |
94-99. | Développement des racines d'une équation algébrique | 89 à 94 |
100. | Usages du développement précédent | 94 |
101. | Limite de x ex pour x = | 96 |
102. | Limite de x- log x pour x = ; de x logx pour x = 0 | 97 |
103. | Développement d'un logarithme | 97 |
104. | Nécessité de la discussion du reste dans la formule de Maclaurin | 98 |
105-106. | Vraie valeur des expressions indéterminées | 99 |
107. | Limite de pour pour m = . - De xx pour x = 0 | 99 |
108. | Cas des fonctions de plusieurs variables | 101 |
IV. - Séries infinies.
109. | Définition de la convergence | 101 |
110-115. | Séries à termes positifs. - Règles de convergence | 103 à 105 |
116-118. | Quantités imaginaires. - Module et argument. - Module et argument d'un produit. - Module d'une somme algébrique | 106 à 107 |
119-122. | Séries absolument convergentes. - On peut y changer l'ordre des termes. - Multiplication de deux séries | 108 à 110 |
123-124. | Séries semi-convergentes. - Leur valeur dépend de l'ordre des termes III à | 112 |
125-126. | Théorème d'Abel | 114 à 115 |
127-128. | Séries dont les termes sont fonctions d'une variable. - Convergence uniforme | 116 à 117 |
129-131. | Séries procédant suivant les puissances entières et positives de la variable. - Cercle de convergence | 117 à 120 |
V. - Produits infinis.
132-135. | Règles de convergence | 121 à 123 |
136. | Application au produit II | 124 |
137. | Application au produit (z) | 125 |
VI. - Fonctions exponentielles et circulaires.
138-140. | Définition de ez, sin z, cos z pour z imaginaire. - Propriétés fondamentales de ces fonctions. - Formules d'Euler | 125 à 127 |
141-142. | Définition de log z. - Ses propriétés fondamentales.. | 128 à 129 |
143-144. | Définition de zm. - Ses propriétés fondamentales. | 130 à 131 |
145-146. | Discussion de la fonction ez | 131 |
147-149. | Discussion des fonctions sin z et cos z | 132 à 134 |
150. | Expression de sinm z et cosm z par les sinus et cosinus des multiples de z | 134 |
151. | Expression de sin m z et cos m z en sin z et cos z | 135 |
152-155. | Expression de sin z et cos z en produits infinis. - Formule de Wallis | 136 à 139 |
156. | Développement de cot z en série | 139 |
VII. - Séries et produits périodiques.
157-160. | Séries infinies dans les deux sens. - Application à la série . - Périodicité des fonctions trigonométriques | 140 à 142 |
161-165. | Les quatre fonctions . - Formules fondamentales | 142 à 146 |
166-167. | Leur expression en produits infinis | 147 à 148 |
168. | Fonction Z | 151 |
169. | Quotients des fonctions . - Double périodicité | 152 |
VIII. - Série hypergéométrique. - Fonction .
170. | Série hypergéométrique. - Condition de convergence | 154 |
171. | Son équation différentielle | 155 |
172-173. | Relation entre les fonctions contiguës. - Valeur de F (,,,) | 155 à 157 |
174-176. | Propriétés du produit (z) | 158 à 159 |
IX. - Séries et produits multiples.
177-178. | Définitions | 160 à 162 |
179-184. | Séries d'Eisenstein | 162 à 167 |
185-190. | Séries à plusieurs variables | 168 à 172 |
X. - Fractions continues.
191-194. | Développement d'un nombre en fraction continue. - Propriétés des réduites | 172 à 175 |
195-198. | Développement d'une fonction. - Calcul direct des réduites | 176 à 178 |
CHAPITRE IV.
MAXIMA ET MINIMA.
199-201. | Maxima et minima des fonctions d'une variable | 181 à 182 |
202-204. | Maxima des fonctions de deux variables | 182 à 185 |
205. | Maxima et minima relatifs | 185 |
206. | Valeur maximum ou minimum d'une fonction dans un intervalle donné | 187 |
207. | Distance d'un point à une droite | 187 |
208-209. | Plus courte distance de deux droites | 188 à 191 |
210. | Distance d'un point à un plan | 192 |
211. | Maxima et minima du rapport de deux formes quadratiques | 193 |
CHAPITRE V.
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES DE LA SÉRIE DE TAYLOR.
I. - Points ordinaires et points singuliers.
212-217. | Cas des courbes planes | 198 à 201 |
218-222. | Cas des surfaces | 204 à 206 |
223-229. | Cas des courbes gauches | 208 à 214 |
II. - Théorie du contact.
230. | Définition du contact | 214 |
231-234. | Contact des courbes planes | 215 à 217 |
235-237. | Contact d'une courbe et d'une surface | 218 à 219 |
238-241. | Contact de deux courbes gauches | 219 à 221 |
242-247. | Contact de deux surfaces | 222 à 224 |
248-251. | Osculation | 225 à 228 |
III. - Courbes et surfaces enveloppes.
252-254. | Enveloppe d'une famille de courbes | 229 à 231 |
255-258. | Enveloppe d'une famille de surfaces dépendant d'un ou de deux paramètres | 233 à 237 |
IV. - Courbes planes.
259-260. | Tangente et normale | 238 à 239 |
261-262. | Différentielle de l'arc | 240 à 241 |
263-264. | Cercle osculateur. - Développée | 242 à 243 |
265-269. | Courbure. - Points d'inflexion | 243 à 246 |
270-272. | Applications. - Parabole. - Ellipse. - Cycloïde | 246 à 249 |
V. - Géométrie infinitésimale
273. | Considérations générales | 251 |
274. | Tangente et différentielle de l'arc en coordonnées polaires. | 252 |
275-278. | Arc de développée | 254 à 257 |
279. | Tangente au lieu du sommet d'un angle constant circonscrit à deux courbes | 258 |
280. | Théorème sur les coniques homofocales | 259 |
VI. - Courbes gauches et surfaces développables.
281. | Tangente et plan normal | 260 |
282. | Différentielle de l'arc | 261 |
283. | Plan osculateur | 262 |
284. | Surfaces développables | 263 |
285. | Enveloppe des plans normaux | 265 |
286. | Cercle osculateur | 265 |
287. | Sphère osculatrice | 267 |
288-295. | Valeur principale de divers infiniment petits. - Courbure. - Torsion. - Plans stationnaires | 269 à 275 |
296. | Différence entre l'arc et sa corde | 275 |
297-299. | Formules de MM. Frenet et Serret | 276 à 279 |
300. | Une surface développable est applicable sur un plan | 280 |
301. | Application à l'hélice | 282 |
VII. - Systèmes de droites.
302-303. | Éléments qui déterminent la position relative de deux génératrices voisines | 283 à 284 |
304-306. | Surfaces réglées. - Loi de variation du plan tangent. | 286 à 288 |
307-308. | Caractère des surfaces développables | 289 à 291 |
309-313. | Congruences. - Génératrices ordinaires et singulières. - Points principaux. - Foyers. - Double système de développables | 291 à 293 |
314-316. | Lois de M. Kummer sur la répartition des génératrices voisines d'une génératrice ordinaire | 295 à 298 |
317. | Lois d'une génératrice singulière | 299 |
318-319. | Complexes | 301 à 303 |
VIII. - Théorie des surfaces.
320-321. | Plan tangent. - Normale | 303 à 304 |
322. | Élément de longueur | 305 |
323-325. | Élément de l'aire | 306 à 308 |
326. | Indicatrice | 310 |
327-330. | Courbure des lignes tracées sur une surface | 312 à 315 |
331-332. | Propriétés de la congruence des normales | 315 à 317 |
333. | Condition pour que les droites d'une congruence soient normales à une surface | 317 |
334-337. | Lignes de courbure. - Rayons de courbure principaux. | 320 à 322 |
338. | Ombilics | 323 |
339. | Ligne des points paraboliques | 324 |
340. | Lignes asymptotiques | 325 |
341. | Application aux surfaces de révolution | 326 |
342. | Application aux surfaces développables | 326 |
343. | Application à l'ellipsoïde | 327 |
344-345. | Courbure d'une surface | 329 à 330 |
IX. - Coordonnées curvilignes.
346. | Définitions. - Systèmes orthogonaux | 331 |
347-348. | Élément de longueur | 333 à 334 |
349. | Élément de volume | 335 |
350. | Coordonnées polaires | 336 |
351. | Coordonnées semi-polaires | 337 |
352-357. | Coordonnées elliptiques | 338 à 343 |
358-359. | Théorème de Dupin | 343 à 346 |
CHAPITRE VI.
THÉORIE DES COURBES PLANES ALGÉBRIQUES.
I. - Genre.
360-361. | Nombre des points qui déterminent une courbe d'ordre n | 347 |
362. | Faisceaux de courbes | 348 |
363. | Hexagone de Pascal | 348 |
364. | Limite du nombre des points singuliers | 349 |
365. | Genre | 350 |
366. | Courbes unicursales | 353 |
II. - Coordonnées homogènes.
367-369. | Coordonnées trilinéaires | 354 à 356 |
370-374. | Covariants. - Leurs équations différentielles | 356 à 361 |
375. | Discriminant | 361 |
376. | Hessien | 363 |
377. | Tangente | 363 |
378-379. | Points singuliers | 364 |
380-385. | Points d'inflexion. - Leur nombre | 365 à 371 |
386-387. | Polaire | 371 |
388-391. | Classe | 372 à 373 |
392-396. | Coordonnées tangentielles | 374 à 376 |
397. | Formules de Plucker | 377 |
FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES. |
Caractéristiques techniques
PAPIER | |
Éditeur(s) | Hachette |
Auteur(s) | Camille Jordan |
Collection | Sciences |
Parution | 01/04/2020 |
Nb. de pages | 406 |
Format | 15.6 x 23.4 |
Couverture | Broché |
Poids | 557g |
EAN13 | 9782329408552 |
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