Résumé
Extrait de l'introduction
Le but de ce livre est d'exposer, par voie cohomologique, la théorie du corps de classes local, suivant la méthode inaugurée par Hochschild et développée par Artin-Tate. Il s'agit des extensions, principalement abéliennes, des corps "locaux" (i.e. complets pour une valuation discrète) à corps résiduel fini. On sait que l'on obtient de tels corps en complétant un corps de nombres algébriques; c'est là l'un des aspects de la "localisation".
Les chapitres sont groupés en "parties". Il y a trois
parties préliminaires, les deux premières sur la théorie générale des corps locaux, la troisième sur la cohomologie des groupes. Le corps de classes local proprement dit occupe la quatrième.
Quelques précisions sur le contenu de ces quatre parties :
La première contient les définitions et les résultats de base sur les anneaux de valuation discrète, les anneaux de Dedekind (qui en sont la "globalisation") et l'opération de complétion. Je ne me suis servi que de notions élémentaires d'algèbre et de topologie, pour lesquelles je renvoie le plus souvent à Bourbaki.
La deuxième partie s'occupe des phénomènes liés à la ramification (différente, discriminant, groupes de ramification, représentation d'Artin). Pas plus que dans la première partie, on n'y fait d'hypothèses sur les corps résiduels. C'est dans ce cadre général que l'application "norme" est étudiée ; j'ai exprimé les résultats au moyen de "polynômes additifs" et de "polynômes multiplicatifs", faute de pouvoir employer le langage de la géométrie algébrique qui m'aurait entraîné trop loin (cf. [59]).
La troisième partie (cohomologie des groupes) est plutôt un
résumé - et même un résumé incomplet - qu'un exposé systématique qui aurait occupé à lui seul un volume.
[...]
L'auteur - Jean-Pierre Serre
Jean-Pierre Serre est considéré comme l'un des plus grands mathématiciens du XXe siècle. Il a reçu de nombreuses récompenses pour ses recherches, dont la médaille Fields en 1954, dont il est le plus jeune lauréat. Il est aussi le premier lauréat du prix Abel, créé en 2003.
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Sommaire
- Corps locaux
- Anneaux de l'évaluation discrète et anneaux de Dedekind
- Complétion
- Ramification
- Discriminant et différence
- Groupes de ramification
- La norme
- Représentation d'Artin
- Cohomologie des groupes
- Généralités
- Cohomologie des groupes finis
- Les théorèmes de Tate et de Nakayama
- Cohomologie galoisienne
- Formation de classes
- Corps de classes local
- Groupe de Brauer d'un corps local
- Corps de classes local
- Symboles locaux et théorèmes d'existence
- Ramification
Caractéristiques techniques
| PAPIER | |
| Éditeur(s) | Hermann |
| Auteur(s) | Jean-Pierre Serre |
| Parution | 21/10/1997 |
| Édition | 4eme édition |
| Nb. de pages | 246 |
| Format | 17 x 24 |
| Couverture | Broché |
| Poids | 415g |
| Intérieur | Noir et Blanc |
| EAN13 | 9782705612962 |
| ISBN13 | 978-2-7056-1296-2 |
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