Analyse infinitésimale, à l'usage des ingénieurs. calcul intégral

Eugène Rouché - Collection Sciences

876 pages, parution le 01/02/2020

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Résumé

Analyse infinitésimale à l'usage des ingénieurs. Calcul intégral / par Eugène Rouché,... et Lucien Lévy,...
Date de l'édition originale : 1900-1902

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Sommaire

TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE I Des Intégrales indéfinies

Numéros		Pages.
1.	Définition de l'intégrale définie	1
2.	Définition de l'intégrale indéfinie	2
3 à 7.	Propriétés de l'intégrale définie	3
8 et 9.	Théorèmes de la moyenne	4
10.	Objet du calcul Intégral	6
11 à 13.	Extension de la notion d?intégrale définie au cas où la fonction devient infinie dans le champ de l'intégration	7
14 à 16.	Cas où les limites du champ deviennent infinies	10
17 à 20.	Deux cas où l'on peut reconnaître que l'intégrale demeure finie: 1 dx c-x2 dx	14
21 et 22.	Les propriétés des nos 3 à 7 subsistent pour les nouvelles intégrales	17
23.	Intégration par parties	17
24.	arc sin d. Lx dx.	18
25.	P (x) c-x dx	19
26.	Généralisation de la formule d'intégration par parties	20
27.	sinm x dx	20
28.		22
29.	Intégration par substitution: méthode et exemples,	23
30 et 31.	arc tg x dx	24
32 à 35.	Intégration des fractions rationnelles; formule d'interpolation de Lagrange, =0	26
35 bis.	Exemple de décomposition d'une fraction rationnelle	32
36 à 40.	Intégration et réduction des différentielles algébriques irrationnelles. Exemples: dx, sinm x cosp x dx	34
41.	Définition des intégrales abéliennes	39
42.	Cas où la courbe attachée est une strophoïde	40
43.	Cas où la courbe est une conique:	41
44 à 47.	Intégrales elliptiques et hyperelliptiques: définition et réduction	43
48.	Il y a trois espèces d'intégrales elliptiques	50
49 et 50.	On ramène le polynôme sous le radical à être bicarré.Notation de Legendre. Réduction à la forme canonique	51
51.	Exemples d'intégrales pseudo-hyperelliptiques	57
52 à 53.	Application de la méthode au cas où la quantité sous le radical est du second degré. Etude complète de ce cas	58
54.	Exemples: dx,	61
55 à 59.	Réduction des intégrales abéliennes	63
60 à 63.	Intégration des fonctions rationnelles de sin x et de cos x	72
64 à 66.	Intégrales où figurent des exponentielles ou des logarithmes	80

CHAPITRE II Des Intégrales définies

67 et 68.	Des intégrales définies dont la valeur s'obtient en appliquant la définition. Exemples: ex dx, log sin x dx, log (1 - 2 cos x + ) dx	83
69 à 71.	Cas où une limite devient infinie: e-x2 dx,	88
72.	Premier exemple d?artifice	93
73.	Règle de Cauchy pour la convergence des séries	94
74 et 75.	Emploi des changements de variables pour le calcul des intégrales définies: log sin x dx, x2 log sin x dx, dx	96
76.	Cas où le coefficient différentiel présente une singularité après le changement de variable	99
77.	Des intégrales définies déduites de l'intégrale indéfinie; formules de récurrence	101
78.	2 sinm x dx	102
79.	Formule de Wallis	103
80.	Deuxième méthode pour déterminer e-x2 dx.	104
81 et 82.	Transcendance des nombres e, ex (si x est algébrique), et ; impossibilité de la quadrature du cercle.	105
83 et 84.	Dérivation et intégration sous le signe	110
85 et 86	dx	113
87 et 88.	Cas où les limites dépendent du paramètre	114
89 à 95.	Intégration par les séries: e-x2 cos 2bx dx, 1	115
90 à 99.	Intégrales curvilignes: définitions, condition pour que l'intégrale soit indépendante du chemin parcouru	124
100.	Intégrale prise le long doeun contour fermé	127
101.	Extension doeune propriété des intégrales ordinaires	128
102 et 103.	Intégrale curviligne considérée comme fonction de sa limite supérieure	128
104.	Exemple	130
105.	Différentielles totales de plusieurs variables	131
106.	Définitions: fonctions uniformes ou monodrômes	133
107 à 109.	Précautions à prendre dans les intégrations le long de contours fermés	134
110.	Procédé pour déterminer une fonction multiforme: points de branchements, coupures	138

CHAPITRE III Intégration des fonctions de variables imaginaires

111.	Définition	141
112.	Conditions d?intégrabilité	143
113 à 115.	Extension aux nouvelles intégrales des propriétés des intégrales ordinaires. Théorème de la moyenne. Cas où lim z (z) = 0	144
116.	Etude de	148
117.	Définitions: lacets, périodes	153
118 à 120.	Théorèmes de Taylor et de Maclaurin pour les variables imaginaires. Développement doeune fonction méromorphe autour doeun pôle	154
121.	Inversion des intégrales hyperelliptiques	158
122 et 123.	Définitions: fonctions holomorphes et méromorphes Points singuliers essentiels	162
124.	Développement doeune fonction uniforme dans la portion doeun plan comprise entre deux cercles concentriques	164
125.	Résumé des propriétés déjà établies pour les intégrales hyperelliptiques	166
126.	Périodes des fonctions inverses	166
127 à 130.	Calcul de quelques intégrales définies réelles au moyen de contours imaginaires	170

CHAPITRE IV Des polynômes de Legendre

131 à 133.	Des polynômes de Legendre	179
136.	Formule de Lagrange	187
137 et 138.	Application de cette formule à la détermination de l'anomalie excentrique et aux fonctions de Legendre	189
139 à 143.	Retour sur les produits infinis: cas des facteurs imaginaires. Développement de sin , de cos en produits infinis, de tang et de cot en séries.	191
144 à 145.	Considérations sur le produit semi-convergent	196
146 et 147.	Fonctions Eulériennes de deuxième espèce: définition	199
148 et 149.	Premières propriétés de ces fonctions	200
150.	Constante d?Euler. Expression de en produit infini	204
151.		206
152.	(z) dz	208
153 à 155.	Formule de Stirling	208
156 à 161.	Fonctions Eulériennes de première espèce	213

CHAPITRE V Séries de Fourier. Séries de polynômes.

162 à 164.	Préliminaires. Séries trigonométriques; calcul des coefficients	219
165.	Exemple	221
166 à 167	Formes particulières	222
168 à 173.	Réciproques: condition de Dirichlet	223
174.	Exemple	233
175.	Le cercle a l'aire maximum parmi les isopérimètres	235
176 et 177.	Séries de polynômes de Legendre	237
178.	Extension aux polynômes de Jacobi	238

CHAPITRE VI Intégrales doubles.

179 et 180.	Définitions	240
181 et 182.	Expression en coordonnées rectilignes ou polaires	242
183 et 184.	Réduction aux intégrales ordinaires	243
185.	Volume du tétraèdre	246
186.	Autre exemple	247
187.	On peut intervertir l'ordre des intégrations. Intégration sous le signe	249
188 et 189.	Cas doeun champ infini	250
190.	Toute équation algébrique a une racine	251
191 et 192.	Nouvelle démonstration doeune formule relative aux intégrales Eulériennes	255
193 et 194.	Nouvelles démonstrations des formules	256
195	dx	258
196.	Intégrales de Fresnel: sin x2 dx, cos x2 dx	259
197.	Changements de variables dans les intégrales doubles	261
198.	Même problème traité sans l'intervention de la géométrie	262
199 à 202.	Retour sur les discontinuités et les champs infinis: théorèmes permettant d?affirmer que l'intégrale double est finie	264
203.	Différentiation et intégration sous le signe S	269
204 à 207.	Intégrales de surface	270
208 et 209.	Formule de Riemann pour la réduction à une intégrale curviligne	274
210.	Formule de Stokes ayant le même objet	278
211.	Conditions pour quoeune intégrale curviligne à trois variables soit nulle	281

CHAPITRE VII Applications géométriques

212.	Préliminaires	282
213 à 218.	Rectification de l'épicycloïde, de la parabole, de la spirale logarithmique, de la lemniscate, de l'hélice, de la loxodromie	282
219 à 222.	Quadratures. Parabole, ellipse, folium de Descartes	288
223.	Considérations sur les changements de variables	292
224.	Exemple en coordonnées polaires	293
225 à 227.	Quadrature des aires courbes: fenêtres de Viviani, ellipsoïde	294
228 et 229.	Introduction du ds2 surface de vis à filet carré. Surface engendrée par la révolution doeune cycloïde	297
230 et 231.	Retour sur la courbure totale doeune surface. Courbure totale doeun triangle géodésique. Aire doeun triangle sphérique	300
232.	Théorème de Gauss sur l'intégrale S	305
233.	Surfaces de révolution	306
234 et 235.	Aire de la zône, de l'ellipsoïde de révolution	307
236.	Mêmes problèmes en coordonnées polaires	308
237 à 239.	Cubatures. Ellipsoïde; sphère; surfaces réglées	310
240 et 241.	Règle des trois niveaux	312
242 à 244.	Méthodes d?approximation: développements en série Valeur approchée de l'arc d?ellipse	315
245 à 253.	Approximations par quadratures. Méthodes des trapèzes, de Cotes, de Gauss. Autres méthodes	317

CHAPITRE VIII Intégrales triples, multiples. Application aux volumes, centres de gravité, moments d?inertie.

254.	Définition géométrique des intégrales triples	331
255.	Définition générale	333
256.	Réduction aux intégrales simples	334
257.	Changements de variables	335
258 à 260.	Intégrale de Dirichlef	338
261 et 262.	Centres de gravité	342
263 et 264.	Moments d?inertie	344
265 à 272.	Tableaux	345

CHAPITRE IX Formule de Green. - Potentiel

273.	Préliminaires	377
273.	Formule d'Ostrogradsky	377
274 à 276.	Formule de Green	378
277.	Définition du potentiel	384
278.	Exemple	385
279 à 284.	Potentiels-volumes: premières propriétés. Les dérivées premières sont finies	386
285 et 286.	Dérivées secondes. Equations de Laplace et de Poisson	391
287.	Equation de Gauss	394
288.	Surfaces de niveau	396
289 à 294.	Principe de Dirichlet	397
295 à 299.	Attraction des sphères, des ellipsoïdes	402
300 à 304.	Potentiels-surfaces	407
305.	Potentiels-lignes	413
306 à 308.	Fonctions de Laplace	414
309.	Leur lien avec les fonctions de Legendre	417
310 et 311.	Développement doeune fonction quelconque en série de fonctions de Laplace	418
312 à 314.	Théorème général de Vaschy sur les champs de forces	419

CHAPITRE X Fonctions elliptiques.

315 à 318.	Rappel des divers procédés par lesquels on étudie les fonctions trigonométriques	426
319.	Une fonction uniforme ne peut pas avoir deux périodes réelles distinctes	430
320.	Changement de période	430
321 à 324.	Théorèmes généraux sur les fonctions doublement périodiques	431
325.	Premier point de vue: les fonctions elliptiques sont les inverses des intégrales elliptiques. Fonctions de Jacobi: addition de sin am u	436
326 à 329.	Etude des fonctions de Weierstrass au même point de vue: leurs périodes, leur addition	439
330 à 334.	Les séries 0: addition des périodes	447
336.	Fonctions sn, cn, dn	451
337 et 338.	Suite des théorèmes relatifs aux fonctions 0, zéros.	451
339 à 341.	La fonction	453
342 à 344.	La fonction	454
345 à 347.	La fonction pu: nouvelle définition	456
348 à 350.	Formules d?addition	458
351.	est holomorphe.	461
352.	Remarques sur la réalité des fonctions d Weierstrass	463
353.	Dégénérescences	464
354 à 359.	Applications: arc d?ellipsé, mouvement à la Poinsot	465
360 et 361.	Intégration	475
362 et 363.	Décomposition en éléments simples. Nouvelle démonstration de la formule d?addition	477
364.	Autres modes de décomposition	481

CHAPITRE XI Equations différentielles du premier ordre à deux variables.

365 à 367.	Définitions. Intégrale générale	483
368 à 373.	Intégrales particulières et solutions singulières	485
374 à 376.	Equations aux variables séparées. Equations homogènes	489
377 à 381.	Equation linéaire. Equations de Bernoulli et de Jacobi	492
382 à 388.	Equation de Riccati	498
389 à 391.	Equations différentielles qu?on ne peut résoudre par rapport à	504
392 à 394.	Procédé par différentiation Equations de Lagrange et de Clairaut	509
395 à 398.	Equation d?Euler. Retour aux fonctions elliptiques.	511
399 à 407.	Théorie du facteur intégrant. Retour à la théorie des Cartes géograpspanques	518
408 à 412.	Problèmes relatifs aux tangentes et aux normales	527
413 à 418.	Problèmes des trajectoires	532
419 à 421.	Lignes de courbure	536
422 à 425.	Lignes asymptotiques	539

CHAPITRE XII Equations différentielles d?ordre quelconque à deux variables. - Cas d?abaissement.

426 à 428.	Intégrale générale	543
429 à 431.	Intégrales des divers ordres	546
432 à 433.	Intégration de l'équation = (x)	548
434 et 435.	Equations où n?entre ni x ni y, mais seulement deux dérivées consécutives	550
436.	Equations de la forme F (y, ) = 0	554
437 et 438.	Equations où n?entrent ni x ni y, mais seulement deux dérivées dont les ordres différent de deux unités	557
439 et 440.	Deux cas d?abaissement	558
441 à 443.	Equations homogènes	560
444 et 445.	Equation de Liouville	563
446 à 449.	Problèmes relatifs à la courbure des lignes planes	569
450.	Cas où figure l'arc de courbe S	573
451 et 452.	Courbe de poursuite	576
453 et 454.	Lignes géodésiques	579

CHAPITRE XIII Equations linéaires d?ordre quelconque.

455.	Définitions	583
456 et 457.	Forme générale de l'intégrale de l'équation sans second membre	584
458 à 466.	Intégration des équations linéaires à coefficients constants	585
467 à 471.	Intégration des équations à coefficients variables	593
472 à 474.	Abaissement de l'ordre doeune équation différentielle linéaire. Théorème de Lagrange	600
475 et 476.	Transformations diverses	605
4

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Hachette
Auteur(s)	Eugène Rouché
Collection	Sciences
Parution	01/02/2020
Nb. de pages	876
Format	15.6 x 23.4
Couverture	Broché
Poids	1190g
EAN13	9782329380155