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Librairie Eyrolles - Paris 5e
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Traité de mécanique rationnelle. Tome 5

Eléments de calcul tensoriel. applications géométriques et mécaniques

Paul Appell - Collection Sciences

218 pages, parution le 01/04/2021

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Résumé

Traité de mécanique rationnelle, par Paul Appell, membre de l'Institut, recteur honoraire de l'Université de Paris. T. 5. Eléments de calcul tensoriel. Applications géométriques et mécaniques, avec la collaboration de René Thiry, professeur à l'Université de Strasbourg
Date de l'édition originale : 1926

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Sommaire

TABLE DES MATIÈRES.

CHAPITRE I.

Rappel des propriétés fondamentales des formes linéaires et quadratiques.

I. - FORMES LINÉAIRES ET SUBSTITUTIONS LINÉAIRES.

	Pages
1. Rappel de quelques propriétés des déterminants	1
2. Formes linéaires	3
3. Formes linéaires indépendantes	3
4. Substitutions linéaires	4
5. Substitutions orthogonales	6

II. - FORMES QUADRATIQUES.

6. Définitions générales	6
7. Décomposition doeune forme quadratique en somme de carrés de formes linéaires indépendantes	7
8. Formes quadratiques à coefficients réels	9
9. Forme polaire doeune forme quadratique	10
10. Forme adjointe doeune forme quadratique	10
11. Transformée doeune forme quadratique par une substitution linéaire	11
12. Substitutions linéaires transformant en elle-même une forme quadratique donnée	12
13. Interprétations géométriques	13
14. Directions principales. Équation en S	15
15. Étude de l'équation en S dans le cas des formes quadratiques à coefficients réels	16
16. Réduction doeune forme quadratique à la forme canonique par une substitution orthogonale	19
17. Réduction simultanée de deux formes quadratiques à leurs formes canoniques en axes quelconques	20

CHAPITRE II.

Calcul tensoriel.

18. Introduction

I. - DÉFINITIONS GÉNÉRALES.

19. Généralités	23
20. Système de fonctions attaché à un point de la multiplicité	24
21. Transformation par invariance	25
22. Autres procédés de transformation	25
23. Notations	26
24. Convention de sommation. Indices muets	26
25. Relations entre les dérivées partielles	27
26. Systèmes tensoriels du premier ordre	28
27. Inversion des formules précédentes	29
28. Systèmes tensoriels du second ordre	29
29. Généralisation définitive	30

II. - ALGÈBRE TENSORIELLE.

30. Multiplication par un invariant	31
31. Addition	31
32. Multiplication	31
33. Contraction	32
34. Multiplication mixte et multiplication intérieure	33
35. Procédés permettant de déceler le caractère tensoriel doeun système	33
36. Conséquence. Modification de la définition des systèmes tensoriels	34
37. Systèmes tensoriels spéciaux	35

III. - FORME QUADRATIQUE FONDAMENTALE.

38. Définition	36
39. Systèmes tensoriels fondamentaux du second ordre	36
40. Systèmes associés. Tenseurs	37
41. Règles du "jeu des indices"	39

IV. - LIGNES GÉODÉSIQUES.

42. Définition et équations différentielles des géodésiques	40
43. Symboles de Christoffel. Leurs propriétés	44
44. Transformation des symboles de Christoffel dans un changement de variables. Formules de Christoffel	45

V. - ANALYSE TENSORIELLE.

45. Objet du paragraphe	47
46. Dérivation covariante	48
47. Propriétés générales de la dérivation covariante	52
48. Dérivation contrevariante	54
49. Dérivation tensorielle	54

VI. - DÉRIVATIONS COVARIANTES SUCCESSIVES. TENSEUR DE RIEMANN-CHRISTOFFEL.

50. Influence de l'ordre des dérivations	55
51. Propriétés du tenseur de Riemann-Christoffel	57

VII. - APPLICATION DE LA DÉRIVATION COVARIANTE A L'ÉTABLISSEMENT DE QUELQUES FORMULES IMPORTANTES.

52. Formules et applications	59
53. Les contractions du tenseur de Riemann-Christoffel	63
54. Système de coordonnées géodésique en un point	64
55. Application	65

Règles et formules du calcul tensoriel. Résumé

CHAPITRE III.

Exemples et applications du calcul tensoriel dans l'espace euclidien à trois dimensions.

I. - CALCUL VECTORIEL EN COORDONNÉES CURVILIGNES

56. Coordonnées curvilignes	72
57. Courbes et surfaces de coordonnées	73
58. Relation entre les tenseurs du premier ordre et les vecteurs de l'algèbre vectorielle ordinaire	75
59. Longueur doeun vecteur	77
60. Produit scalaire de deux vecteurs	78
61. Élément linéaire à deux dimensions	78
62. Élément linéaire à trois dimensions	80

II. - EXEMPLES ET APPLICATIONS TIRÉS DE LA MÉCANIQUE CLASSIQUE.

63. Exemples de tenseurs du premier ordre	81
61. Exemples de tenseurs du second ordre	83
65. Exemple de tenseur symétrique du second ordre	87
66. Mouvement doeun corps solide autour doeun point fixe. Équations d?Euler	87
67. Déformation doeun milieu continu	91
68. Efforts à l'intérieur doeun milieu continu	96
69. Équations de l'équilibre élastique	98

CHAPITRE IV.

Espaces euclidiens à n dimensions.

70. Introduction

100

I. - ÉTUDE D?UN ESPACE EUCLIDIEN DANS LE CAS OÙ LES COEFFICIENTS DE LA FORME QUADRATIQUE FONDAMENTALE SONT DES CONSTANTES.

71. Espaces purement euclidiens et pseudo-euclidiens	101
72. Variétés de l'espace euclidien. Variétés linéaires	102
73. Vecteurs	103
74. Longueur doeun vecteur	104
75. Translation	105
76. Angle de deux vecteurs	105
77. Condition de parallélisme de deux droites	106
77b. Condition d?orthogonalité de deux droites	106
78. Plan perpendiculaire à une droite en un de ses points	106
79. Angle de deux plans	107
80. Théorème des projections	107
81. Courbes gauches	107

II. - COORDONNÉES CURVILIGNES DANS UN ESPACE EUCLIDIEN A n DIMENSIONS.

82. Courbes et surfaces de coordonnées	109
83. Composantes doeun vecteur en coordonnées curvilignes	110
84. Relations entre les composantes doeun vecteur et ses éléments géométriques dans l'angle polyèdre des tangentes ou des normales, relatif à son origine	111
85. Courbes gauches en coordonnées curvilignes	111

III. - DÉPLACEMENT PARALLÈLE D?UN VECTEUR.

86. Définition	112
87. Application. Forme invariante des équations de la droite	114

IV. - CONDITIONS NÉCESSAIRES ET SUFFISANTES POUR QU?UNE FORME QUADRATIQUE DONNÉE CARACTÉRISE UN ESPACE EUCLIDIEN.

88. Rôle du tenseur de Riemann-Christoffel

115

CHAPITRE V.

Espaces riemanniens à n dimensions.

I. - MÉTHODE DE M. LEVI-CIVITA. GÉNÉRALITÉS.

89. Notations et formules préliminaires	119
90. Variété linéaire tangente à l'espace R en un de ses points	121
91. Variété linéaire normale à l'espace R en un de ses points	122
92. Variétés de l'espace riemannien. Courbes	123
93. Étude des courbes de l'espace R. Courbure géodésique	124

II. - LE DÉPLACEMENT PARALLÈLE.

94. Définition	126
95. Formules du déplacement parallèle exprimées à l'aide des composantes covariantes	128
96. Le déplacement parallèle et les géodésiques	129

III. - COURBURE D?UN ESPACE RIEMANNIEN.

97. Généralités	129
98. La courbure totale des surfaces et le déplacement parallèle	130
99. Variation subie par un vecteur déplacé parallèlement dans un espace riemannien le long doeun contour fermé très petit	134
100. Courbure de l'espace R suivant l'orientation II	137
101. Coordonnées normales de Riemann	139

IV. - ESPACES RIEMANNIENS A COURBURE CONSTANTE

102. Espace sphérique et espace elliptique

143

CHAPITRE VI.

Les géométries de Weyl et d?Eddington. Les travaux de M. Cartan.

I. - LA GÉOMÉTRIE DE WEYL.

103. Le continu amorphe	146
104. Notion de connexion affine	148
105. Détermination métrique et connexion métrique	151
106. La courbure segmentaire	154
107. Fusion de la connexion affine et de la connexion métrique	156
108. Extension de la notion de tenseur	158
109. Généralisation de la notion de déplacement parallèle	158
110. Étalonnage géodésique. Système de coordonnées géodésique	161
111. Courbure de direction	161
117. La géométrie de M. Eddington	164

II. - LES TRAVAUX DE M. CARTAN.

113. Critique de la condition de commutavité. Les espaces à torsion	165
114. Le tenseur de torsion	169

CHAPITRE VII.

Aperçus de géométrie cayleyenne.

I. - CONSIDÉRATIONS GÉNÉRALES.

115. Géométrie. Édifice géométrique. Schéma

171

II. - L'ÉDIFICE EUCLIDIEN ET SES SCHÉMAS.

116. L'édifice euclidien	173
117. Le schéma euclidien classique	173
118. L'édifice euclidien hyperbolique	175

III. - LES ÉDIFICES GÉOMÉTRIQUES CAYLEYENS. L'ÉDIFICE GÉOMÉTRIQUE CAYLEYEN A ABSOLU PSEUDO-RÉEL

119. Définitions générales	176
120. L'édifice cayleyen à absolu pseudo-réel	177
121. [Distances] orientées. Relation de Chasles	178
122. [Distance] de deux [points] infiniment voisins	179
123. [Angles] cayleyens. Formule fondamentale de la trigonométrie cayleyenne	179
124. Lien entre l'édifice cayleyen (à absolu pseudo-réel) et la géométrie non euclidienne de Riemann	180
125. Schéma sphérique de l'édifice cayleyen à absolu pseudo-réel	180
120. [Aires] cayleyennes	181
127. Quelques remarques sur les schémas cayleyens	182

IV. - L'ÉDIFICE GÉOMÉTRIQUE CAYLEYEN A ABSOLU RÉEL.

128. Généralités	183
129. [Distances] et [angles]	184
130. Lien entre l'édifice cayleyen (à absolu réel) et la géométrie non euclidienne de Lobatschewsky	185
131. Le schéma de Poincaré	185
132. Autre forme du schéma de Poincaré	187

V. - LES DÉPLACEMENTS CAYLEYENS.

133. Généralités et définitions	188
134. Cas où l'absolu est pseudo-réel	188
135. Cas où l'absolu est réel	190

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Hachette
Auteur(s)	Paul Appell
Collection	Sciences
Parution	01/04/2021
Nb. de pages	218
Format	15.6 x 23.4
Couverture	Broché
Poids	303g
EAN13	9782329611280