Théorie des ensembles

Jean-Louis Krivine - Collection Nouvelle bibliothèque mathématique

272 pages, parution le 17/08/2007

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Résumé

Née il y a un siècle de l'esprit de Cantor, la théorie des ensembles fascine toujours les mathématiciens. En leur offrant un cadre axiomatique universel, elle témoigne de l'unité profonde des mathématiques. Ce livre expose les bases d'une théorie qui est devenue un vaste domaine de recherches, aux applications variées.

Une présentation des axiomes usuels de la théorie des ensembles de Zermelo-Freenkel (ZF), ainsi que des notions fondamentales d'ordinal et de cardinal, amène naturellement à la question essentielle : quels axiomes raisonnables peut-on ajouter à la théorie ZF sans la rendre contradictoire ? C'est le problème de la consistance relative.

Dans la première partie, on résout ce problème pour l'axiome du choix et l'hypothèse du continu, suivant la méthode des modèles intérieurs. On y trouvera également une preuve inédite et particulièrement élégante du second théorème d'incomplétude de Gôdel.

La seconde partie est consacrée à la méthode du forcing et à ses applications ; entre autres le célèbre résultat de Cohen sur l'indépendance de l'hypothèse du continu, et le théorème de Solovay sur la non-contradiction de l'axiome : "Tout ensemble de réels est mesurable".

Complété par une importante série d'exercices avec des indications détaillées, cet ouvrage s'adresse aussi bien aux étudiants de master et de doctorat qu'aux enseignants et chercheurs en mathématiques, ainsi qu'à tous ceux qu'intéressé la philosophie des mathématiques.

L'auteur - Jean-Louis Krivine

Jean-Louis Krivine est professeur à l'Université Paris 7, spécialiste de géométrie algébrique réelle, d'analyse fonctionnelle, de logique et d'informatique théorique. Il a créé, en 1982, l'équipe de logique mathématique, qui est l'un des plus importants laboratoires au monde dans ce domaine. Lauréat de l'Académie des Sciences en 1994 et Prix du Rayonnement français en 2004, il est l'auteur de plusieurs ouvrages de référence en logique.

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Sommaire

Modèles intérieurs
- L'Axiomes de Zermelo-Fraenkel
- Ordinaux, cardinaux
- L'axiome de fonction
- Le schéma de réflexion
- L'ensemble des formules
- Ensembles définissables en termes d'ordinaux
- Modèles de Fraenkel-Mostowski
- Ensembles constructibles
- Le théorème d'incomplétude de Gödel
Forcing
- Un cas simple de forcing
- Extensions génériques
- Indépendance de l'hypothèse du continu
- Indépendance de l'axiome du choix
- Produits d'ensembles de conditions
- Chaînes et antichaînes
- Algèbres de Boole Complètes
- Arbres
- Exercices

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Cassini
Auteur(s)	Jean-Louis Krivine
Collection	Nouvelle bibliothèque mathématique
Parution	17/08/2007
Nb. de pages	272
Format	15,5 x 23
Couverture	Relié
Poids	562g
Intérieur	Noir et Blanc
EAN13	9782842250966
ISBN13	978-2-84225-096-6