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Théorie des ensembles
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Librairie Eyrolles - Paris 5e
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Théorie des ensembles

Théorie des ensembles

Jean-Louis Krivine

274 pages, parution le 01/06/1998

Résumé

Née il y a un siècle de l'esprit de Cantor, la théorie des ensembles fascine toujours les mathématiciens. A une époque où les controverses sur les fondements étaient incessantes, elle est venue proposer un cadre axiomatique aux mathématiques, ainsi qu'un témoignage de leur unité profonde.

Ce livre expose les bases d'une théorie qui est devenue un vaste domaine de recherches aux applications variées.

Dans la première partie sont d'abord exposés les axiomes usuels de la théorie des ensembles de Zermelo-Froenkei (ZF), les notions fondamentales d'ordinal et de cardinal, l'axiome du choix et ses équivalents classiques. Cette présentation amène naturellement à la question essentielle: quels axiomes peut-on ajouter à la théorie ZF sans la rendre contradictoire? C'est le problème de la consistance relative. On le résoud notamment pour l'axiome du choix et l'hypothèse du continu, suivant la méthode des modèles intérieurs. Cette partie s'achève sur une démonstration inédite, particulièrement élégante, du théorème d'incomplétude de Gôdel.

La seconde partie est consacrée à la méthode du forcing et à ses applications-, entre autres le célèbre résultat de Cohen sur l'indépendance de l'hypothèse du continu, et le théorème de Solovay sur la non-contradiction de l'axiome: <~ tout ensemble de réels est mesurable ".

Complété par une importante série d'exercices avec des indications détaillées, cet ouvrage s'adresse aussi bien aux étudiants de deuxième et troisième cycle qu'aux enseignants et chercheurs en mathématiques et à tous ceux qu'intéresse la philosophie des mathématiques.

Table des matières

  • Introduction
  • Première Partie : Modèles intérieurs
  • L'Axiomes de Zermelo-Fraenkel
  • Ordinaux, cardinaux
  • L'axiome de fonction
  • Le schéma de réflexion
  • L'ensemble des formules
  • Ensembles définissables en termes d'ordinaux
  • Modèles de Fraenkel-Mostowski
  • Ensembles constructibles
  • Le théorème d'incomplétude de Gödel
  • Deuxième Partie : Forcing
  • Un cas simple de forcing
  • Extensions génériques
  • Indépendance de l'hypothèse du continu
  • Indépendance de l'axiome du choix
  • Produits d'ensembles de conditions
  • Chaînes et antichaînes
  • Algèbres de Boole Complètes
  • Arbres
  • Exercices
  • Index

L'auteur - Jean-Louis Krivine

Jean-Louis Krivine est professeur à l'Université Paris 7, spécialiste de géométrie algébrique réelle, d'analyse fonctionnelle, de logique et d'informatique théorique. Il a créé, en 1982, l'équipe de logique mathématique, qui est l'un des plus importants laboratoires au monde dans ce domaine. Lauréat de l'Académie des Sciences en 1994 et Prix du Rayonnement français en 2004, il est l'auteur de plusieurs ouvrages de référence en logique.

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Caractéristiques techniques

  PAPIER
Éditeur(s) Cassini
Auteur(s) Jean-Louis Krivine
Parution 01/06/1998
Nb. de pages 274
Format 15,5 x 23,3
Couverture Relié
Poids 481g
Intérieur Noir et Blanc
EAN13 9782842250140
ISBN13 978-2-84225-014-0

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