Méthodes de monte-carlo et processus stochastiques :

Du linéaire au non linéaire

Emmanuel Gobet - Collection Physique

236 pages, parution le 26/11/2013

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Résumé

La méthode de Monte-Carlo, qui tire son nom du fameux casino à Monaco, s'est développée de manière spectaculaire depuis 60 ans : elle figure parmi les 10 algorithmes ayant eu le plus d'influence sur le développement et la pratique de la science et de l'ingénierie au XX^e siècle. En fait, il n'existe pas une méthode de Monte-Carlo mais des méthodes de Monte-Carlo. La 1re partie de l'ouvrage dresse un panorama de l'existant, puis détaille les outils de base pour la simulation de variables aléatoires, les résultats de convergence les plus courants et les techniques d'accélération des méthodes de Monte-Carlo. Puis, la 2e partie aborde la simulation des équations différentielles stochastiques (processus à évolution linéaire dérivant du mouvement brownien), dont les applications en biologie, chimie, économie, finance, géophysique, mécanique des fluides, neuroscience etc. sont importantes. L'objectif principal est le calcul d'espérance de leurs trajectoires.

Cela donne, via les formules de Feynman-Kac, des solutions probabilistes aux équations aux dérivées partielles : ce lien remarquable permet de résoudre, par simulations Monte-Carlo, ces équations en toute dimension. Enfin, la 3e partie, la plus originale, traite des processus stochastiques ayant des évolutions non-linéaires (modélisant des interactions variées), comme les équations du contrôle stochastique, les diffusions branchantes, les équations stochastiques de McKean-Vlasov, avec des applications fondamentales en plein développement. Nous présentons notamment quelques idées importantes d'apprentissage statistique, dont le couplage aux méthodes de Monte-Carlo (via les régressions empiriques) conduit à des algorithmes des plus performants.

Dans cet ouvrage, nous mettons en avant les grands principes de simulation efficace, avec une présentation exigeant le moins de préalables mathématiques. Le niveau prérequis à la lecture de ce cours est celui de Master 1, ou 2e année d'école d'ingénieurs. Cet ouvrage intéressera aussi des étudiants plus avancés ou des enseignants-chercheurs, souhaitant dégager l'essentiel des outils sophistiqués pour la simulation de processus stochastiques linéaires et non-linéaires.

L'auteur - Emmanuel Gobet

Emmanuel Gobet est professeur de Mathématiques appliquées à l'École polytechnique.

Sommaire

Introduction : tour d'horizon des méthodes de Monte-Carlo
Partie A : boîte à outils pour la simulation
- Simulation de variables aléatoires
- Convergences et estimations d'erreur
- Réduction de variance
Partie B : simulation de processus linéaires
- Equations différentielles stochastiques et formules de Feynman-Kac
- Schéma d'Euler pour les équations différentielles stochastiques
- Erreur statistique dans la simulation des équations différentielles stochastiques
Partie C : simulation de processus non-linéaires
- Equations différentielles stochastiques rétrogrades
- Simulation par régression empirique
- Particules en interactions et équations non-linéaires au sens de McKean

Annexe : quelques rappels et résultats complémentaires

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Les éditions de l'Ecole polytechnique
Auteur(s)	Emmanuel Gobet
Collection	Physique
Parution	26/11/2013
Nb. de pages	236
Format	17 x 24
Couverture	Broché
Poids	446g
Intérieur	Noir et Blanc
EAN13	9782730216166
ISBN13	978-2-7302-1616-6