Introduction à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann

Ricardo Sà Earp, Eric Toubiana - Collection Enseignement des mathématiques

364 pages, parution le 20/04/2005

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Résumé

Avec ce livre, les auteurs ont voulu présenter une introduction élémentaire à des notions qui servent depuis longtemps de base à des recherches en mathématiques (géométrie différentielle et géométrie algébrique) et en physique théorique.

On peut noter que le plan hyperbolique (introduit par Lobatchevski en 1826) d'une part, les surfaces de Riemann (1851) d'autre part, sont les premiers exemples d'objets géométriques qui ne se présentent pas comme des figures de l'espace usuel, mais au contraire se substituent à lui, devenant ainsi le lieu d'une nouvelle géométrie. Le lien entre ces deux notions fut découvert par Poincaré en 1881. Les objets d'étude proposés dans ce livre sont d'abord les géodésiques et les horocycles du plan hyperbolique, ses isométries, puis les courbes du plan hyperbolique et leur courbure. Un chapitre est ensuite consacré aux espaces hyperboliques de dimension 3 et plus.

Dans la partie sur les surfaces de Riemann, les auteurs proposent notamment l'étude des revêtements ramifiés, puis celle de la classification des surfaces par le genre et par la nature du revêtement universel (c'est là que se fait le lien avec le plan hyperbolique) ; la classification plus fine des structures conformes est abordée dans le cas du tore, ce qui donne l'occasion de présenter la théorie des fonctions elliptiques, et de l'anneau, où on déduit de la classification le grand théorème de Picard. Plusieurs applications à la théorie des surfaces minimales de l'espace euclidien sont données en complément.

Cette introduction à la géométrie hyperbolique et aux surfaces de Riemann est la première qui mette ces deux sujets à la portée d'étudiants de M1 (quatrième année) de mathématiques, sans exiger d'eux plus qu'une connaissance de la géométrie euclidienne et une familiarité minimale avec les fonctions analytiques.

L'ouvrage comporte 117 exercices, avec des indications.

Sommaire

Topologie et fonctions holomorphes
Géométrie hyperbolique
L'espace hyperbolique en dimension supérieure
Surfaces de Riemann

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Caractéristiques techniques

	PAPIER
Éditeur(s)	Cassini
Auteur(s)	Ricardo Sà Earp, Eric Toubiana
Collection	Enseignement des mathématiques
Parution	20/04/2005
Nb. de pages	364
Format	15 x 23
Couverture	Broché
Poids	590g
Intérieur	Noir et Blanc
EAN13	9782842250850
ISBN13	978-2-84225-085-0