30 développements pour l'agrégation interne de mathématiques. oral 1 et oral 2. 2e édition

Le point sur les prérequis - des démonstrations détaillées - des ouvertures et applications

Bastien Lartigue

470 pages, parution le 22/08/2024

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Résumé

Cet ouvrage, à destination des candidats à l'agrégation interne de mathématiques, propose une série de 30 développements possibles pour les épreuves orales de leçons et d'exercices.
Le développement, effectué sans notes le jour du concours, consiste à détailler une situation mathématique importante afférente au sujet choisi. Il peut s'agir de la démonstration d'un théorème (pour l'oral 1) ou de la résolution d'un exercice (pour l'oral 2). Il est donc important de montrer une aisance dans l'exposé des énoncés ainsi que dans la maîtrise des concepts mis en jeu. Pour chaque développement, les candidats trouveront une série de commentaires ayant pour but de faire un point sur les pré-requis nécessaires. Quelques ouvertures sont également proposées afin de placer le sujet dans un cadre plus large. Dans cet ouvrage, plusieurs démonstrations peuvent être exposées pour un même développement et ce, dans un but de croiser les concepts et les différentes branches des mathématiques.

Sommaire
Représentation décimale propre d'un rationnel
Théorème de Lagrange et sous-groupe distingué
Arithmétique et périodicité
Théorème de Riesz
Théorème de Weierstrass
Théorème de d'Alembert-Gauss
Equivalence des normes
Théorème de Carathéodory
Théorème de Kakutani
Une application des théorèmes de Kakutani et de Carathéodory
Théorème spectral
Matrices de Moore
Théorème d'inversion locale
Norme d'une forme linéaire continue
Disques de Gerschgorin
Injectivité de l'exponentielle sur l'ensemble des matrices réelles diagonalisables
Bicontinuité de l'exponentielle sur l'ensemble des matrices symétriques réelles
Théorème de Cayley-Hamilton
Surjectivité de l'exponentielle sur l'ensemble des matrices carrées à coefficients complexes
Rayon spectral et série (dans l'ensemble des matrices carrées à coefficients complexes)
Calcul de l'intégrale de Dirichlet
Théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire
Fonction continue dont la série de Fourier diverge
Théorème de Fejér
Images des entiers pairs par la fonction zeta
Phénomène de Gibbs
Equation de Bessel
Nombres de Bell
Approximation d'intégrales
Méthode de Newton pour la décomposition polaire